Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.



Випадковий процес ξ(t) , tЄT (T={1,2…,n})параметричне сімейство випадкових величин. I=[0;∞], ξ(t), t≥0.

Cімейство функцій скінченно вимірного розподілу:  

Ft1,t2,…,tn (A1,A2,…,An) = P(ξ(t1)Є A1 , ξ(t2)Є A2 ,…,ξ(tn)Є An ).

t1 , t2 ,…, tn Є[0;∞],   A1,A2,…,An Є Fx

Ці функції задовольняють умовам узгодженості скінченновимірних розподілів:

1) Ft1,t2,…,tn (A1,A2,…,An-1,x)= Ft1,t2,…,tn-1 (A1,A2,…,An-1)

2) Ft1,t2,t3,…,tn (A1,A2,…,An)= Ft2,t1,t3,…,tn (A2,A1, A3…,An)

 

Теорема Колмогорова

Для будь-якого набору скінченновимірного розподілу, який задовольняє умові узгодженості,існує ймовірностний простір (Ω, F , Р), на якому заданий ξ(t), для яког йя система буде скінченновимірним розподілом.

Типи випадкових процесів

· ПНЗ(процеси з незал. значеннями)

Ft1,t2,…,tn (A1,A2,…,An)= Ft1(A1) Ft2(A2)… Ftn(An)

Ft(A)=P(ξ(A) ЄA)

· ПНП(Процес з незал. приростами)

t1< t2<… tn

Якщо ξ(t1), ξ(t2)- ξ(t1), ξ(t3)- ξ(t2),…, ξ(tn)- ξ(tn-1) прирости процесу незалежні, то

Ft(A)=P(ξ(t) ЄA)

Fs,t(B)=P(ξ(t)- ξ(s))ЄB

ξ(tn)=( ξ(tn)- ξ(tn-1))+( ξ(tn-1)- ξ(tn-2))…+(ξ(t2)- ξ(t1))+ ξ(t1)

· ОПНП(однорідні процеси з незал. приростами)

Fs,t(B)=Ft-s(B)

ξ(t)- ξ(S)  ξ(t+1)- ξ(S+1)  ξ(t-S)- ξ(0)=0

φt(λ)=Meiλξ(t) = etk(λ)

k(λ) – кумулянта

k(λ) = iλa – t2σ2/2 + eiλx – 1 – )  dG(x),  G(0)=0

Процеси з незалежними приростами

Типи випадкових процесів:

1. Процеси з незалежними значеннями:

Ft1 t2 … tn(A1 A2 … An)=Ft1(A1) *Ft2(A2)*… *Ftn(An)

Ft(A)=P(ξ(t)єА)

2. Процеси з незалежними приростами t1<t2<t3<…<tnξ(0)=0

 ξ (t2)- ξ (t1); ξ (t3)- ξ (t2); ξ (tn)- ξ (tn-1)  прирости незалежні

Ft(A)=P{ ξ(t) є A }Ft,s (B)=P { ξ(t)-ξ(s) є B }

ξ(tn)=(ξ(tn)-ξ(tn-1))+ (ξ(tn-1)-ξ(tn-2))+ (ξ(tn-2)-ξ(tn-3))+…+(ξ(t2)-ξ(t1))+ ξ(t1)

Однорідні процеси з незалежними приростами

Ft,s(B)=Ft-s(B)  

ξ(t) – ξ(s) ~ ξ(t+1) – ξ(s+1) ~ ξ(t-s) – ξ(0) =0

φt(λ)=Meiλξ(t) =etk(λ) k(λ) кумулянтаОПНП

k(λ)=iλa – (t2 ϭ2 )/2+ (ei λ x -1-(iλx)/(1+x2) )

( (x2+1)/x ) dG(x)       G(0)=0 dG(x) – функція обмеженої варіації

Приклади ОПНП : вінерівський процес; пуасонівський процес; процеси відновлення; гілясті процеси

 

 

38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):

           

1) w(t) – ОПНП;

2)M(w(t+h) – w(t)) = M(w(h))=0

3)M(w(t+h)-w(t))2 = Mw2(h)=G2h

4)M|w(t+h)-w(t)|3 = M|w(h)|3 = o(h)

          

 

         

          

               

          

 

Пуассонівський процес

Процес П(t), t>0, який приймає значення {0…n}, називається пуассонівським, якщо:

1)ОПНП, П(0)=0;  2) Р{П(t+h)- П(t)=1}=λh+o(h);

3) P{ П(t+h)- П(t)=0}=1- λh+o(h);                       4)P{ П(t+h)- П(t)>1}=o(h);

Позначимо

Розпишемо 

h→0

Для зручності введемо генератрису:

К-те рівняння множимо на    

       

 

Отже, в момент часу t пуассонівський процес має пуассонівський розподіл з параметром

ПП(t)=       ДП(t)=


Процеси відновлення. Функція відновлення

 - ПНОРВВ

i ≥ a

 

S1 =

S2 =

Sn =

- випадковий процес приймає цілі невід’ємні значення, кількість точок відновлення до моменту часу t

 

Тотожність комарова-феллера

 

 

 

 

 

 

 

 

 – Інтегральне рівняння відновлення

Приклад:

 

 

 

           Пуасонівський процес

ЗВЧ для процесів відновлення:

Теорема 1

 

 

 

 

 

                              

                              

                                         

Теорема2-елементарна Теорема відновлення

 

 

Т3 основна теорема відновлення

                 

 

T4 Вузлова теорема відновлення

Нехай виконуються умови теореми 3

f(t)    монотонно спадна,інтегрована

 

 

Парадокс Т відновлення

 

 

 

 

 

 

Гіллясті процеси

 ξ p(ξ>k)=p(k)     - ланцюг Маркова

                             p(ξ=0)=p0>0                             

φn(s)=Msηn        φ(s)= Msξ1= skpk         φ(s)=Ms

P{ηn-1=k}= k(s)p(ηn-1=k)=φn-1 (φ(s))= φn(s)= φn-1(φ(s))= φn-2 (φ(φ(s)))   φ 1(s)= φ(s)

= φn-2 2(s))= φn-3 3(s))= φ1(s) (φn-1(s))= φ(φn-1(s))

nn’(1)=Mn          φn’(1)* φ’(φn-1(1)) *φ’n-1(1)=φ’(1) φ’n-1(1)2m*mn-1

mn=m*mn-1 mn=mn   qn=p(ηn=0)    q0=p(ξ=0)=p   φ(0)=p0=qφn(0)=qn

qn =qn-1(p0) qn= φ(qn-1)  lim qn=π π= φ(π)

{ ηn =0}→ {ηn-1=0}

qn≤ qn+1         Момент зростання послідовності  0<q<1

n= π             π= φ(π)-найбільший корінь φ(1)=1

q1=p0 q2= φ(q1)       φ(s)=p0+sp1+s2p2+…

 π= φ(π) = φ(π)   n= π π≤

q1 =φ (q1)=p0+p1q1+p1q2+…≥p0; q1= φ(0)=p0; q2≥q1;

q2= φ (q1)   w0(t)=-w(t)

ηn pk=p{ ξi=k} p0=p{ξ=0}>0-ймов. виродження

φ (s)= kpk=p0+sp1+s2 p2+…

φn(s)=MsZn

1) φn(s)= φn-1(φ(s))  2)  φn(s)= φ(φn-1(s))

mn=mn               m=Mξ  φ’(1)=Mξ  φ’n(1)=M ηn

qn=p{ ηn =0}  qn≤ qn+1        lim qn= π qn = φ n(0) φ(1)=1  π=1 qn = φ(qn-1)     π= φ(π)

Припустимо = φ ( )     π≤        q1=p(ξ=0)=p0   q2= φ (q1)

q1 = φ( )         p0 =p0+ p1+ p2+…    qn       q2=φ(q1)≤φ( )=

 qn= φ(qn-1) ≤ φ( )=        qn        n→∞  π≤

1) m≥1             Mξ =m

φ’(1)≥1

ймов. вир-ня ≤1

0< π <1    

 

2)m<1          φ’(1)≥1 π=1

 

 Виродиться


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 968; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!