Кинематика вращательного движения. Угловая скорость и ускорение.
Кинематика вращательного движения — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.
Формулы кинематики для равноускоренного вращательного движения
Найдем зависимость угловой скорости ω и угла поворота φ колеса троллейбуса от времени t для случая вращения колеса с постоянным угловым ускорением ε.
Пусть начальная угловая скорость равна ω0. Тогда точка М, имея начальную скорость υ0 = rω0, будет двигаться с постоянным по модулю касательным ускорением ak = rε. По аналогии с прямолинейным равноускоренным движением для линейной скорости υ и пути s получим равенства
, (4)
, (5)
из которых после исключения времени t следует полезное соотношение:
. (6)
Подставив в равенства (4)-(6) s = rφ, υ = rω, ak = rε, υ0 = rω0 и упростив, получим соотношения
.
Это и есть формулы кинематики для. вращательного движения любого тела (а не только колеса троллейбуса) с постоянным угловым ускорением.
Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
,
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
|
|
|
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли, просто «вручную» подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 
определяется формулой:
где 
— радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) r от оси вращения можно считать так: v = rω. Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
§ В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
|
|
|
§ Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
§ Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
§ Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
§ В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
|
|
|
, где — радиус-вектор точки (из начала координат), 
— скорость этой точки. 
— векторное произведение, 
—скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения — единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.
§ В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.
§ При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц)
|
|
|
(то есть в таких единицах 
).
§ В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости связан с частотой вращения так: 
§ Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет: 
§ Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.
§ При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно[1]:
§ 
§ Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно — при замедленном).
§ При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени[2], то есть
§ 
,
§ и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.
§ Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:
§ 
,
§ где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек2 .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 6408; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!