Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция 
непрерывна на конечном промежутке 
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение. Несобственным интегралом 
от функции у=f(x) на промежутке 
называется предел 
, т.е.
Формула 13. Несобственный интеграл
Если предел, стоящий в правой части равенства (формула 13) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (формула 13) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции 
непрерывной, но не ограниченной на промежутке 
:
Формула 14.
Если функция 
не ограничена при 
, где 
, и непрерывна при 
и 
, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке 
обозначается 
и определяется равенством
Формула 15.
Несобственный интеграл (15) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (15).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подинтегральная функция 
не определена в точке 
, при 
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем:
Замена 
]= 
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
|
|
|
Литература
1. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1999. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1984. – 616 с.
4. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2003. – 351 с.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 551; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!