Вычисление объема тела по площадя сечения



 

Пусть дано тело Т, ограниченное замкнутой поверхностью, и известна площадь любого его сечения, плоскостью, перпендикулярной некоторой прямой, например, оси ОХ, эти сечения будем называть поперечными.

При изменении координаты площадь поперечного сечения будет изменяться, т.е. является функцией x. Обозначим ее S(x). Функцию S(x) будем считать непрерывной на отрезке [a; b].

 

Рисунок Площадь поперечного сечения.

                                              

Для вычисления объема применим обычный алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками (рис 2) a = x0  < x1 <…< xn = b. Обозначим ∆xk = xk – xk-1, λ = max{∆xk}, k = 1,n. Через точки разбиения проводим плоскости, перпендикулярные оси ОХ. Семейство плоскостей разобьет тело Т на слои, толщина каждого ∆xk.

2. На каждом из частичных отрезков[xk-1, xk] выберем произвольным образом точкуS(ξk) функции S(x) в этих точках.

3. Будем считать, что каждый слой представляет собой цилиндр, площадь основания которого S(ξk), а высота ∆xk. Тогда объем такого цилиндра

                                            

Объем всего тела Т приближенно равен объему фигуры, состоящей из n ци-линдров

                                             

4. За точное значение искомого объема примем

                                   

Заметим, что сумма  является интегральной суммой для непрерывной функции S(x) на отрезке [a; b].

Следовательно

Таким образом, объем тела, заключенного между двумя плоскостями x = a и x = b, в случае, если площадь сечения известна и равна S(x) вычисляется по формуле:                                                 

Площадь поверхности тела вращения

 

Определение: Площадью поверхности вращения кривой AB вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломанных, вписанных в кривую AB, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломанных.

Разобьем дугу AB на n частей точками М0, М1, М2,…, Ми. Координаты вершин полученной ломанной имеют координаты xi и yi . При вращении ломанной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна ∆Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь ∆Si – длина каждой хорды.

                    

Применяем теорему Лагранжа к отношению:

Получаем:

               

Тогда:

          

          

Площадь поверхности, описанной ломанной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно сказать, что:

Тогда  - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

Длина дуги плоской кривой

 

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости  (рис. 9).

 

Рисунок 9. Кривая

Определение. Под длиной дуги  понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция  и ее производная  непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой  вычисляется по формуле:

 (Формула 12).

 

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение. Из условия задачи имеем .  По формуле (12) получаем:

.

Объем тела вращения

 

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке  функции , осью , прямыми  и , вращается вокруг оси  (рис 6). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

 Формула 10. Объем тела вращения

 

Пример 1. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми ,  и осью .

Решение. Сделаем чертеж (рис 7).

Из условия задачи следует, что , .

По формуле (формула 10) получаем

.

 

Рисунок 6.

Рисунок 7.

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у=с и у=d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке  функции  (рис 8), определяется по формуле

 Формула 11. Объем тела

 

Рисунок 8.

х = j (у)

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1180; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!