Графический метод нахождения оптимального решения экономических задач линейного программирования



Математическая модель, область допустимых решений, целевая функция. Поиск оптимального решения.Экономическая интерпретация.

Примеры решения типовых задач

Пример 2. Задача о рационе

Решить экономическую задачу линейного программирования графическим методом.

При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено не более 50 кг и силос не более 85 кг. Рацион должен содержать не менее 30 кормовых единиц, 1000 г белка, 100 г кальция и 80 г фосфора. Определить оптимальный рацион, исходя из условия минимума себестоимости.

В таблице 4 приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого корма и себестоимость этих кормов.

Таблица 7

 

Корм

Компоненты

 

Себестоимость, ден. ед.

кормовые единицы белок, г/кг кальций, г/кг фосфор, г/кг
Сено свежее, кг 0,5 40 1,25 2 1,2
Силос, кг 0,5 10 2,5 1 0,8

Решение

Этап 1. Составление математической модели задачи.

Обозначим через  и  количество кг сена и силоса, которое предполагается включить в рацион. Естественно, что , . Из условия задачи следует, что  (кг);  (кг).

Количество кормовых единиц в рационе можно выразить суммой , что должно быть, по условию, не меньше 30: (ед.), или .

Ограничения по содержанию в рационе белка, кальция и фосфора имеют вид:  

(г), или  (для белка);

(г), или  (для кальция); 

(г) (для фосфора).

Себестоимость рациона в принятых обозначениях можно выразить формулой (руб.). Итак, математическая модель задачи построена.

Математическая постановка задачи: найти неотрицательные значения переменных  и , которые удовлетворят системе линейных неравенств   и при которых целевая функция принимает наименьшее значение .

Этап 2. Графическое решение стандартной ЗЛП.

Построим область допустимых решений задачи (рисунок 1). Для построения градиента увеличим координаты вектора  в 50 раз, получим . Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня.

            

 

                

                             

        

 

                  

        

                                     

 

                     

                                   

 

                  |             |                                                   

                      

 

                                           

Рисунок 1 – Графическое решение задачи о рационе

Передвигая линию уровня в направлении градиента, найдем точку входа в область допустимых значений – это точка . Для нахождения координат этой точки решим систему уравнений прямых ( ) и  ( ), пересекающихся в точке : . Получим .

В точке  целевая функция принимает наименьшее значение, равное .

Этап 3. Анализ оптимального решения

Оптимальный рацион составляет 20 кг сена и 40 кг силоса, при этом себестоимость минимальная и составляет 56 ден. ед.

Подставив координаты оптимального решения  в каждое неравенство, увидим, что третье и шестое неравенства обращаются в уравнения, а остальные – в строгие неравенства.

Это означает, что оптимальный рацион содержит необходимое количество кормовых единиц и фосфора, а белка и кальция – в избытке, причем сено и силос используются не в полном объеме.

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 223; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ