Тема 1.2. Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности



 

 

Математические модели экономических задач линейного программирования

Примеры экономических ЗЛП, их математические модели.

 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Задача об использования сырья

Предприятие располагает двумя видами сырья S1 и S2 в количествах 10 и 15 условных единиц и изготавливает из него изделия трех видов П1, П2 и П3. Известен расход каждого вида сырья на единицу продукции, что задается матрицей расхода сырья . Известна прибыль от реализации единицы продукции, которая задается вектором . Найти такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль.

Составить экономико-математическую модель задачи.

Решение

Для наглядности данные задачи занесем в таблицу.

Таблица 1 – Исходные данные задачи об использовании сырья

 

Вид сырья

Расход сырья на 1 единицу продукции

 

Запас сырья

П1 П2 П3
S1 S2 1 4 2 3 3 2 10 15
Прибыль, ден. ед. 2 4 3  

Построим экономико-математическую модель. Запишем искомый план производства в виде , где  - количество единиц продукции П1, П2, П3 соответственно. Система ограничений по расходу сырья примет вид

, , ,

а целевая функция (прибыли) .

Математическая модель задачи имеет стандартную форму.

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Составить математическую модель задачи.

Для изготовления изделий А и В используется 3 вида сырья. В таблице приведены нормы расхода сырья всех видов на изготовление единицы каждого вида изделий, запасы сырья и прибыль от реализации единицы продукции А и В.

  Таблица 2

Сырье А В Запасы сырья
S1 S2 S3 16 8 5 4 7 9 784 552 567
Прибыль, ден. ед. 4 6  

 

Задача 2. Составить математическую модель задачи.

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количестве не менее 24, 30 и 30 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. В таблице приведено количество получаемых заготовок и величины отходов, которые получаются при раскрое одного листа фанеры при каждом способе.

Сколько листов фанеры по каждому способу следует раскроить, чтобы получить минимальные отходы от раскроя?

Таблица 3

Вид заготовки

Количество заготовок при раскрое по способу:

  1 2
I II III 2 5 10 6 4 3
Отходы, кв. см 12 16

Указание.  - количество листов фанеры, раскраиваемых по 1-му и 2-му способам. Ограничения по количеству заготовок - неравенства вида . Целевая функция - общие отходы от раскроя.

Задача 3. Составить математическую модель задачи.

На станках Р1 и Р2 производится два вида продукции А и В. Для изготовления 1 ед. продукции А станок Р1 используется 2 часа, а станок Р2 - 3 час. Для 1 ед. продукции В это время равно соответственно 1 час и 2 часа. Продукции А должно быть произведено не более 4 ед.

В течение суток станок Р1 может работать не более 12 часов, а станок Р2 - не более 5 часов. От реализации 1 ед. А прибыль составляет 2 ден. ед., а от 1 ед. В - 1 ден. ед. Какое количество продукции вида А и В нужно произвести, чтобы чистая прибыль была максимальной?

Указание.  - количество продукции вида А (вида В). Целевая функция - это доход от реализации продукции.

 

 

Задача 4.Составить математическую модель задачи.

Доски длиной 4,5 м, имеющиеся в достаточном количестве, следует распилить на заготовки длиной 1,7 м и длиной 1,4 м, причем заготовок первого вида должно быть получено не менее 86 штук и заготовок второго вида - не менее 90 штук. Каждая доска может быть распилена на указанные заготовки несколькими способами.

1) Требуется найти число досок, распиливаемых каждым способом, с тем, чтобы наименьшее количество заготовок было получено:

1) из наименьшего числа досок; 2) при минимальных отходах.

Указание. Для составления математической модели задачи нужно сначала определить всевозможные способы распила на заготовки нужной длины и подсчитать остатки доски от раскроя по каждому способу раскроя.

 

Дополнительные задачи

Задача 1*. Составить математическую модель задачи.

Рассматривается пять проектов, которые могут быть осуществлены в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых капиталовложений по годам (в тыс. руб.) приводятся в таблице.

 

Таблица 4

Проект

Распределение капиталовложений

Прибыль

год 1 год 2 год 3
1 5 1 8 20
2 4 7 10 40
3 3 9 2 20
4 7 4 1 15
5 8 6 10 30
Максимальный объем капиталовложений 25 25 25  

 

Требуется выбрать совокупность проектов, которой соответствует максимум суммарной прибыли.

 

Задача 2*. Составить математическую модель задачи.

Совет директоров фирмы изучает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет средства в объеме 5 млн. руб.

Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов.

Соответствующие данные приведены в таблице, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет учесть возможность отказаться от расширения какого-либо предприятия.

 

Таблица 5

Проект

Предприятие 1

Предприятие 2

Предприятие 3

С1 R1 С2 R2 C3 R3
1 2 3 4 0 1 2 - 0 5 6 - 0 2 3 4 0 8 9 12 0 1 - - 0 3 - -

 

Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций.

 

Задача 3*. Составить математическую модель задачи.

В задаче выбора вариантов примем, что для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимо два вида ресурсов: материальные и трудовые Возможны четыре варианта расхода ресурсов и получения прибыли (табл.).

Таблица 6

Показатели

Варианты

Наличие
1 2 3 4  
Прибыль, д.е./ед. Материальные ресурсы Трудовые ресурсы 65 200 10 80 180 15 90 240 22 210 250 28 – 800 50

 

Требуется выбрать, какие варианты принять для реализации при условии, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трех.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 288; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ