Список дополнительной литературы. 10. Степанов Н.А., Культина Л.Ф



10. Степанов Н.А., Культина Л.Ф. Базовые требования к минимуму содержания и уровню подготовки студентов математического факультета по курсу «Геометрия» (Методические материалы). – Н.Новгород: НГПУ, 2000.

11. Агафонова Н.М., Репина Н.М. Методические указания по изучению темы «Векторные пространства и линейные операторы». – Н.Новгород: НГПУ, 1997.

 

 

Приложение 1.Перечень вопросов.

 

     1.СКАЛЯРНОЕ, ВЕКОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.    ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА.

- Определение скалярного произведения и его свойства.

- Формулы для вычисления скалярного произведения, модуля вектора, угла между векторами в ортонормированном базисе.

- Определение векторного произведения векторов и его свойства. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Критерий коллинеарности векторов.

- Вычисление координат векторного произведения в ортонормированном базисе. Свойства векторного произведения.

- Определение смешанного произведения векторов и его свойства.

- Критерий компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.

- Свойства смешанного произведения векторов, вычисление смешанного произведения векторов в ортонормированном базисе.

- Приложения к решению задач.

2.УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. МЕТОД КООРДИНАТ. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

− Определение уравнения линии в данной системе координат. Параметрическое задание линии.

− Примеры и контрпримеры уравнения линии. Пример параметрического задания уравнения линии.

- Алгебраические линии. Порядок алгебраической линии. Основная теорема об алгебраических линиях.

- Прямая как алгебраическая линия первого порядка.

- Сущность метода координат.

Приложения к решению задач.

 


3.ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПОРАБОЛА. УРАВНЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

- Определение эллипса. вывод уравнения эллипса. Способ построения эллипса.

- Свойства эллипса. Эксцентриситет. Зависимость формы эллипса от эксцентриситета.

- Директрисы эллипса.

- Определение гиперболы. Уравнение гиперболы.

- Асимптоты гиперболы. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

- Парабола. Уравнение параболы.

- Линии второго порядка как конические сечения.

 

 

4. ГРУППА АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПОДГРУППЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

- Определение аффинного преобразования плоскости.

- Выражение аффинного преобразования в аффинной системе координат.

- Свойства аффинного преобразования.

- Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.

- Подгруппы аффинной группы.

 - Приложение аффинных преобразований к решению школьных задач.

 

 

5. ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ И ЕЕ ПОДГРУППЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА.

- Определение преобразования подобия.

- Группа подобий плоскости.

- Теорема об инвариантности угла при подобии.

- Выражение преобразования подобия в координатах.

- Существование неподвижной точки.

- Гомотетия. Выражение гомотетии в координатах. Гомотетия как подобие, построение гомотетичных фигур.

- Движение. Теорема о представлении подобия композицией движения и гомотетии.

- Подгруппы группы подобий: группа движений, группа подобий первого рода, группа гомотетий с данным центром.

- Использование подобий в решении задач.

 

6. ГРУППА ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА.

- Определение движений. Движение как частный случай подобия.

- Выражение движений в координатах.

- Критерий движения в терминах ортогональных матриц.

- Определение параллельного переноса, его выражение в координатах.

- Определение вращения, его выражение в координатах.

- Определение симметрии относительно точки, ее выражение в координатах.

- Определение симметрии относительно прямой, ее выражение в координатах.

- Определение скользящей симметрии, ее выражение в координатах.

- Параллельный перенос, вращение, симметрия как движения.

- Построение образов фигур при частных видах движений.

- Группа движений. Подгруппы группы движений: движения первого рода, группа параллельных переносов, группа вращений с заданным центром.

- Использование движений в решении задач.

 

 

7. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

- Расположение двух прямых в пространстве в зависимости от рангов матриц.

- Взаимное расположение прямой и плоскости (условие их параллельности, пересечения и принадлежности прямой плоскости).

- Взаимное расположение двух плоскостей в зависимости от рангов матриц.

  - Доказательства обратных утверждений.

 

 

8.ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ И ЕЕ МОДЕЛИ. СВОЙСТВА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ.

- Определение проективного пространства. Размерность проективного пространства. Плоскость.

- Понятие модели проективной плоскости.

- Связка прямых трехмерного аффинного пространства как модель проективной плоскости.

- Фактор-пространство V*3 по отношению коллинеарности как модель Р2.

- Сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками как модель проективной плоскости. Полусфера с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности.

- Расширенная аффинная плоскость.

- Пересечение прямых на проективной плоскости.

- Замкнутость прямых на проективной плоскости.

- Неразделяемость на 2 части проективной плоскости прямой.

- Невозможность определения «лежать между» для трех точек проективной плоскости.

- Компактность.

 

 

9.ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ. ГРУППА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА.

- Определение проективного преобразования плоскости.

- Выражение проективного преобразования в проективных координатах.

- Группа проективных преобразований плоскости.

- Инвариантность понятия прямой при проективном преобразовании.

- Теорема о неподвижной точке проективного преобразования.

- Теорема о неподвижной прямой.

- Гомология проективной плоскости. Построение гомологичных точек.

- Гомология расширенной аффинной плоскости.

- Использование проективных преобразований в решении задач.

 

 

10.ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ.

- Понятие параллельного проектирования.

- Понятие изображения по методу параллельного проектирования.

- Изображение плоских фигур в параллельной проекции. Теорема об изображении треугольника. Теорема о построении изображения точки по изображению треугольника.

- Изображение четырехугольника, трапеции, параллелограмма, п-угольника.

- Изображение правильного шестиугольника.

- Изображение окружности.

- Теорема Польке-Шварца.

- Изображение тетраэдра, пирамиды, призмы.

- Изображение цилиндра.

- Изображение конуса.

- Изображение шара.

 - Изображение сечений многогранников плоскостями.

 

 

11.СИСТЕМА АКСИОМ ВЕЙЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ ВЕЙЛЯ.

- Основные понятия и основные отношения в схеме Вейля.

- Система аксиом Вейля.

- Непротиворечивость аксиоматики Вейля (построение модели).

- Определение прямой и плоскости в схеме Вейля.

 - Основные теоремы о прямых и плоскостях в схеме Вейля.


12.СИСТЕМА АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА (ОБЗОР).

- Подход Гильберта к построению аксиоматической теории.

- Основные понятия и основные отношения аксиоматики Гильберта.

- Аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности в аксиоматике Гильберта.

- Некоторые следствия из аксиом.

- Метод доказательства содержательной непротиворечивости евклидовой геометрии.

 

 

13.АКСИОМЫ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО.

- Аксиомы абсолютной геометрии в схеме Гильберта.

- Аксиома Лобачевского.

- Модель плоскости Лобачевского. Интерпретация основных понятий и отношений аксиоматики плоскости Лобачевского в схеме Гильберта.

- Непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Модель Пуанкаре. Модель Кели – Клейна.

- Доказательство аксиом Гильберта и аксиомы Лобачевского в модели.

- Непротиворечивость планиметрии Лобачевского в схеме Гильберта.

 

 

14.ТИПЫ ПРЯМЫХ В ПЛОСКОСТИ  ЛОБАЧЕВСКОГО. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И РАСХОДЯЩИХСЯ ПРЯМЫХ.

- Определение параллельных и расходящихся прямых в плоскости Лобачевского.

- Отношение параллельности на множестве всех направленных прямых есть отношение эквивалентности.

- Поведение расстояния от точки, движущейся по прямой, до параллельной ей прямой.

- Отсутствие общего перпендикуляра у параллельных прямых.

- Расходимость двух перпендикуляров к одной прямой.

- Существование и единственность общего перпендикуляра к двум расходящимся прямым.

- Поведение расстояния от точки, движущейся по прямой, до расходящейся с ней прямой.

 

 

15.ГЛАДКИЕ ЛИНИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ.

- Определение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.

- Примеры кривых.

- Касательный вектор кривой. Регулярные и бирегулярные кривые.

- Натуральная параметризация кривой.

- Прямые и плоскости, связанные с точкой гладкой кривой.

- Репер Френе.

- Формулы Френе.

- Критерий обращения кривизны и кручения в нуль.

 

 

16.ГЛАДКИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

- Определение гладкой поверхности в Е3, параметризация поверхности.

- Гладкие поверхности класса Ск.

- Примеры поверхностей в Е3 .

- Нормаль и касательная плоскость к поверхности.

- Первая квадратичная форма поверхности.

- Длина кривой на поверхности.

- Угол между кривыми на поверхности. Критерий ортогональности координатной сети на поверхности.

- Площадь области поверхности.

 

Дисциплины «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», «ТФДП», «ТФКП», «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

1. Эквивалентные (равномощные) множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.

2. Предел числовой последовательности, его единственность. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число .

3. Предел функции в точке. Различные определения предела, их эквивалентность. Свойства пределов. Непрерывность функции в точке. Операции над непрерывными функциями.

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

5. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани множества. Их существование. Принцип вложенных отрезков.

6. Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Натуральная логарифмическая функция. Ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.

7. Тригонометрические функции (синус и косинус), их свойства. Синус и косинус в комплексной области.

8. Дифференцирование функций одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных. Дифференциал. Его связь с производной и геометрический смысл.

9. Основные теоремы дифференциального исчисления. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.

10. Экстремумы функции. Условия выпуклости на промежутке. Точки перегиба.

11. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства. Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры.

12. Определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости. Критерий интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывной функции.

13. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

14. Площадь плоской фигуры. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры.

15. Числовые ряды. Определение сходимости числового ряда. Критерий сходимости положительных рядов. Теоремы сравнения и признаки сходимости положительных рядов. Примеры.

16. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки абсолютной сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Лейбница. Примеры.

17. Функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Интервал и круг сходимости. Свойства степенных рядов.

18. Формула и ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

19. Метрические пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Сходящиеся и фундаментальные последовательности точек метрического пространства. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений, его применение.

20. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка.

21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Их применение к изучению свободных и вынужденных колебаний.

22. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Правила дифференцирования. Понятие аналитической функции.

23. Функция действительного переменного. Свойства функции: монотонность, симметричность, периодичность.

 

Список основной литературы

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 3–х томах.–М.: Высшая школа, 1988. Т.1,2

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.: в 3–х томах..–М.: Высшая школа, 1989. Т.3

3. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.-М.: Физматгиз, 1961.

4.  Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций.-М.: Просвещение, 1977.

5. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения.-Л.: ЛГУ, 1963.

6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.- М.: Наука, 1974.

7. Райков Д.А. Одномерный математический анализ.-М.: Высшая школа, 1982.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3–х томах.-М.: Наука, 1966. Т.1,2.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 208;