Задачи для контрольной работы. Найти производную функции , заданной неявно уравнением.
Найти производную функции , заданной неявно уравнением.
1. . 14.
.
2. . 15.
.
3. . 16.
.
4. . 17.
.
5. . 18.
.
6. . 19.
.
7. . 20.
.
8. . 21.
.
9. . 22.
.
10. . 23.
.
11. . 24.
.
12. . 25.
.
13. .
2.3. Уравнение касательной плоскости и нормали.
2.3.1. Касательная плоскость к поверхности в точке
, где
, имеет уравнение
.
2.3.2. Нормаль к поверхности в точке
, где
, есть перпендикуляр в точке касания
. Она имеет уравнение
.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке с координатами
.
Решение. Нам даны абсцисса и ордината
точки касания, найдем аппликату этой точки:
. Для составления искомых уравнений потребуются значения частных производных в точке касания
Теперь подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:
или
.
Запишем также уравнение нормали: .
Задачи для контрольной работы
Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке
1. . 14.
2. . 15.
3. . 16.
4. 17.
5. 18.
6. 19.
7. 20.
8. 21.
9. 22.
10. 23.
11. 24.
12. 25.
13.
Градиент и производная по направлению
2.4.1. Производная по направлению.
Рассмотрим вектор , соединяющий точки
и
координатной плоскости. Предел вида
естественно рассматривать как скорость изменения функции в точке в направлении вектора. Этот предел называется производной функции
в точке
по направлению
.
Производную по направлению можно вычислить следующим образом:
=
,
где направляющие косинусы вектора
.
2.4.2. Градиент. Вектор, определяющий направление наискорейшего возрастания функции в точке
, называется градиентом функции в этой точке и обозначается
Градиент имеет следующие координаты:
,
}.
Пример. Даны функция и точка
. Найти:
а) градиент данной функции в точке М;
б) производную этой функции в точке по направлению вектора
, где точка
- начало координат.
Решение. Преобразуем данную функцию к виду и найдем ее частные производные в точке М:
,
.
Теперь определяем градиент данной функции в точке
.
Для нахождения производной данной функции в точке М в направлении вектора найдем координаты вектора
, его модуль
и его направляющие косинусы
,
.
Теперь подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем
.
Ответ:
,
Задачи для контрольной работы
Даны функция и точка М. Найти:
а) градиент данной функции в точке М;
б) производную этой функции в точке по направлению вектора
, где точка
- начало координат.
1. . 14.
2. . 15.
3. . 16.
4. . 17.
5. 18.
6. 19.
7. 20.
8. 21.
9. 22.
10. 23.
11. 24.
12. 25.
13.
2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.
2.5.1. Экстремумы функций двух переменных.
Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке
, если ее значение
в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями
из некоторой окрестности точки
. Если функция
непрерывна в некоторой области
и обладает в
всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму:
а) найти и
;
б) найти точки, в которых одновременно и
(критические точки);
в) вычислив в каждой найденной критической точке ( ) частные производные второго порядка
,
выяснить знак выражения .
Если , то в данной критической точке (
) функция достигает экстремума: в случае
имеется минимум, в случае
- максимум.
Если , то в данной критической точке экстремума нет.
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных и
. В соответствии с изложенным алгоритмом
а) Найдем частные производные ,
.
б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений
, которая в нашем случае имеет вид
или
Из первого уравнения системы =
, следовательно
Второе уравнение системы преобразуется к виду
, откуда
,
.
Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим ,
.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки и
.
в) Найдем вторые частные производные данной функции:
Имеем в точке :
Значит =
в точке
, а тогда в этой точке экстремума нет.
Далее, в точке :
Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку
, то в точке
данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции
:
Ответ: .
2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.
а) Найти частные производные и
данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых
;
при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D.
б) Вычислить значения данной функции в этих точках.
в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1).
г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями
,
,
.
Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных
и
. Область
, ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке
.
а) Найдем частные производные данной функции
,
и определим критические точки:
Преобразуем систему к виду
или
,
Откуда и, следовательно,
.
Итак, данная функция имеет единственную стационарную точку , которая, очевидно, принадлежит области
. При этом
.
б) Исследуем поведение функции на границе области .
На участке границы имеем функцию одной переменной
,
. Тогда
и
, если
, откуда
.
Итак, нахождению подлежит значение функции в точке , принадлежащей границе области
:
На участке границы имеем функцию одной переменной
,
. Тогда
и
при
. В точке
, принадлежащей границе области
, имеем
Из уравнения прямой (участка границы) выразим переменную
через
и подставим в заданную функцию. Получим, что при
или
,
.
Далее, и
, если
, откуда
. Тогда
В точке , принадлежащей границе области
, имеем
Остается вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в угловых точках области ) и выбор наибольшего и наименьшего:
,
,
.
Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках ,
, а наименьшее значение равно -1 и достигается в точке
.
Ответ: достигается в точках
и
,
достигается в точке
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 436; Мы поможем в написании вашей работы!

Мы поможем в написании ваших работ!