Найти производную функции 
, заданной неявно уравнением.
1. 
. 14. 
.
2. 
. 15. 
.
3. 
. 16. 
.
4. 
. 17. 
.
5. 
. 18. 
.
6. 
. 19. 
.
7. 
. 20. 
.
8. 
. 21. 
.
9. 
. 22. 
.
10. 
. 23. 
.
11. 
. 24. 
.
12. 
. 25. 
.
13. 
.
2.3. Уравнение касательной плоскости и нормали.
2.3.1. Касательная плоскость к поверхности 
в точке 
, где
, имеет уравнение
.
2.3.2. Нормаль к поверхности 
в точке 
, где , есть перпендикуляр в точке касания . Она имеет уравнение
.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке с координатами 
.
Решение. Нам даны абсцисса 
и ордината 
точки касания, найдем аппликату этой точки: 
. Для составления искомых уравнений потребуются значения частных производных в точке касания
Теперь подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:
или 
.
Запишем также уравнение нормали: 
.
Задачи для контрольной работы
Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке 
1. 
. 14. 
2. 
. 15. 
3. 
. 16. 
4. 
17. 
5. 
18. 
6. 
19. 
7. 
20. 
8. 
21. 
9. 
22. 
10. 
23. 
11. 
24. 
12. 
25. 
13. 
Градиент и производная по направлению
2.4.1. Производная по направлению.
Рассмотрим вектор 
, соединяющий точки 
и 
координатной плоскости. Предел вида
естественно рассматривать как скорость изменения функции в точке в направлении вектора. Этот предел называется производной функции 
в точке по направлению 
.
Производную по направлению можно вычислить следующим образом:
= 
,
где 
направляющие косинусы вектора 
.
2.4.2. Градиент. Вектор, определяющий направление наискорейшего возрастания функции в точке , называется градиентом функции в этой точке и обозначается 
Градиент имеет следующие координаты:
, }.
Пример. Даны функция 
и точка 
. Найти:
а) градиент данной функции в точке М;
б) производную этой функции в точке 
по направлению вектора 
, где точка 
- начало координат.
Решение. Преобразуем данную функцию к виду 
и найдем ее частные производные в точке М:
,
.
Теперь определяем градиент данной функции в точке 
.
Для нахождения производной данной функции в точке М в направлении вектора 
найдем координаты вектора 
, его модуль 
и его направляющие косинусы
, 
.
Теперь подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем
.
Ответ: , 
Задачи для контрольной работы
Даны функция 
и точка М. Найти:
а) градиент данной функции в точке М;
б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат.
1. 
. 14. 
2. 
. 15. 
3. 
. 16. 
4. 
. 17. 
5. 
18. 
6. 
19. 
7. 
20. 
8. 
21. 
9. 
22. 
10. 
23. 
11. 
24. 
12. 
25. 
13. 
2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.
2.5.1. Экстремумы функций двух переменных.
Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке , если ее значение 
в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями 
из некоторой окрестности точки . Если функция непрерывна в некоторой области 
и обладает в всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму:
а) найти 
и 
;
б) найти точки, в которых одновременно 
и 
(критические точки);
в) вычислив в каждой найденной критической точке ( 
) частные производные второго порядка
,
выяснить знак выражения 
.
Если 
, то в данной критической точке ( ) функция достигает экстремума: в случае 
имеется минимум, в случае 
- максимум.
Если 
, то в данной критической точке экстремума нет.
Пример. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных 
и . В соответствии с изложенным алгоритмом
а) Найдем частные производные 
, 
.
б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений
, которая в нашем случае имеет вид 
или
Из первого уравнения системы = 
, следовательно
Второе уравнение системы преобразуется к виду
, откуда 
, 
.
Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим 
, 
.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки 
и 
.
в) Найдем вторые частные производные данной функции:
Имеем в точке : 
Значит = 
в точке , а тогда в этой точке экстремума нет.
Далее, в точке : 
Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку 
, то в точке данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции :
Ответ: 
.
2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция 
достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.
а) Найти частные производные и данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых
;
при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D.
б) Вычислить значения данной функции в этих точках.
в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1).
г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области D, ограниченной линиями 
, 
, 
.
Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных и . Область 
, ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке 
.
а) Найдем частные производные данной функции
, 
и определим критические точки:
Преобразуем систему к виду
или 
,
Откуда 
и, следовательно, 
.
Итак, данная функция имеет единственную стационарную точку 
, которая, очевидно, принадлежит области . При этом
.
б) Исследуем поведение функции на границе области .
На участке границы имеем функцию одной переменной 
, 
. Тогда 
и 
, если 
, откуда 
.
Итак, нахождению подлежит значение функции в точке 
, принадлежащей границе области : 
На участке границы имеем функцию одной переменной 
, 
. Тогда 
и 
при 
. В точке 
, принадлежащей границе области , имеем 
Из уравнения прямой (участка границы) выразим переменную через и подставим в заданную функцию. Получим, что при 
или 
, .
Далее, 
и , если 
, откуда 
. Тогда 
В точке 
, принадлежащей границе области , имеем
Остается вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в угловых точках области ) и выбор наибольшего и наименьшего:
,
,
.
Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках 
, 
, а наименьшее значение равно -1 и достигается в точке .
Ответ: 
достигается в точках и , 
достигается в точке .
