Задачи для контрольной работы. Найти производную функции , заданной неявно уравнением.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Найти производную функции , заданной неявно уравнением.

1. . 14. .

2. . 15. .

3. . 16. .

4. . 17. .

5. . 18. .

6. . 19. .

7. . 20. .

8. . 21. .

9. . 22. .

10. . 23. .

11. . 24. .

12. . 25. .

13. .

2.3. Уравнение касательной плоскости и нормали.

2.3.1. Касательная плоскость к поверхности в точке , где

, имеет уравнение

2.3.2. Нормаль к поверхности в точке , где , есть перпендикуляр в точке касания . Она имеет уравнение

Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке с координатами .

Решение. Нам даны абсцисса и ордината точки касания, найдем аппликату этой точки: . Для составления искомых уравнений потребуются значения частных производных в точке касания

Теперь подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:

или .

Запишем также уравнение нормали: .

Задачи для контрольной работы

Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

1. . 14.

2. . 15.

3. . 16.

4. 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13.

Градиент и производная по направлению

2.4.1. Производная по направлению.

Рассмотрим вектор , соединяющий точки и координатной плоскости. Предел вида

естественно рассматривать как скорость изменения функции в точке в направлении вектора. Этот предел называется производной функции в точке по направлению .

Производную по направлению можно вычислить следующим образом:

= ,

где направляющие косинусы вектора .

2.4.2. Градиент. Вектор, определяющий направление наискорейшего возрастания функции в точке , называется градиентом функции в этой точке и обозначается Градиент имеет следующие координаты:

, }.

Пример. Даны функция и точка . Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат.

Решение. Преобразуем данную функцию к виду и найдем ее частные производные в точке М:

Теперь определяем градиент данной функции в точке

Для нахождения производной данной функции в точке М в направлении вектора найдем координаты вектора , его модуль и его направляющие косинусы

, .

Теперь подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем

Ответ: ,

Задачи для контрольной работы

Даны функция и точка М. Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат.

1. . 14.

2. . 15.

3. . 16.

4. . 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13.

2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

2.5.1. Экстремумы функций двух переменных.

Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке , если ее значение в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями из некоторой окрестности точки . Если функция непрерывна в некоторой области и обладает в всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму:

а) найти и ;

б) найти точки, в которых одновременно и (критические точки);

в) вычислив в каждой найденной критической точке ( ) частные производные второго порядка

выяснить знак выражения .

Если , то в данной критической точке ( ) функция достигает экстремума: в случае имеется минимум, в случае - максимум.

Если , то в данной критической точке экстремума нет.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных и . В соответствии с изложенным алгоритмом

а) Найдем частные производные , .

б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений

, которая в нашем случае имеет вид

или

Из первого уравнения системы = , следовательно

Второе уравнение системы преобразуется к виду

, откуда , .

Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим , .

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки и .

в) Найдем вторые частные производные данной функции:

Имеем в точке :

Значит = в точке , а тогда в этой точке экстремума нет.

Далее, в точке :

Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку , то в точке данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции :

Ответ: .

2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.

а) Найти частные производные и данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых

;

при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D.

б) Вычислить значения данной функции в этих точках.

в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1).

г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями , , .

Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных и . Область , ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке .