Задачи для контрольной работы. Найти производную функции , заданной неявно уравнением.



Найти производную функции , заданной неявно уравнением.

1. .                                    14. .

2. .                                   15. .

3. .                             16. .

4. .                                         17. .

5. .                                    18. .

6. .                                       19. .

7. .                                                   20. .

8. .                                         21. .

9. .                                          22. .

10. .                                        23. .

11. .                                       24. .

12. .                                  25. .

13. .

 

2.3. Уравнение касательной плоскости и нормали.

2.3.1. Касательная плоскость к поверхности в точке , где

, имеет уравнение

.

2.3.2. Нормаль к поверхности в точке , где , есть перпендикуляр в точке касания . Она имеет уравнение

.

Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке с координатами .

Решение. Нам даны абсцисса и ордината  точки касания, найдем аппликату этой точки: . Для составления искомых уравнений потребуются значения частных производных в точке касания

Теперь подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:

 или .

Запишем также уравнение нормали: .

Задачи для контрольной работы

Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

1. .                              14.

2. .                             15.

3. .                 16.

4.                          17.

5.                                       18.

6.                                  19.

7.                                    20.

8.                                 21.

9.                                  22.

10.                             23.

11.                         24.

12.                                25.

13.

 

Градиент и производная по направлению

2.4.1. Производная по направлению.

Рассмотрим вектор , соединяющий точки и  координатной плоскости. Предел вида

естественно рассматривать как скорость изменения функции в точке  в направлении вектора. Этот предел называется производной функции  в точке  по направлению .

Производную по направлению можно вычислить следующим образом:

= ,

где  направляющие косинусы вектора .

2.4.2. Градиент. Вектор, определяющий направление наискорейшего возрастания функции  в точке , называется градиентом функции в этой точке и обозначается  Градиент имеет следующие координаты:

, }.

Пример. Даны функция  и точка . Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке  по направлению вектора , где точка  - начало координат.

Решение. Преобразуем данную функцию к виду  и найдем ее частные производные в точке М:

,

.

Теперь определяем градиент данной функции в точке

.

Для нахождения производной данной функции в точке М в направлении вектора  найдем координаты вектора , его модуль  и его направляющие косинусы

, .

Теперь подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем

.

Ответ: ,

 

Задачи для контрольной работы

 

Даны функция и точка М. Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке  по направлению вектора , где точка  - начало координат.

1. .                                14.

2. .                                         15.

3. .                    16.

4. .                                17.

5.                                  18.

6.                                    19.

7.                                          20.

8.                                21.

9.                                22.

10.         23.

11.                      24.

12.                                    25.

13.

 

2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

2.5.1. Экстремумы функций двух переменных.

Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке , если ее значение  в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями из некоторой окрестности точки . Если функция  непрерывна в некоторой области  и обладает в  всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму:

а) найти  и ;

б) найти точки, в которых одновременно  и  (критические точки);

в) вычислив в каждой найденной критической точке ( ) частные производные второго порядка

,

выяснить знак выражения .

Если , то в данной критической точке ( ) функция достигает экстремума: в случае  имеется минимум, в случае  - максимум.

Если , то в данной критической точке экстремума нет.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных  и . В соответствии с изложенным алгоритмом

а) Найдем частные производные , .

б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений

, которая в нашем случае имеет вид

или

Из первого уравнения системы = , следовательно

Второе уравнение системы преобразуется к виду

, откуда , .

Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим , .

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки  и .

в) Найдем вторые частные производные данной функции:

 

Имеем в точке :

Значит =  в точке , а тогда в этой точке экстремума нет.

Далее, в точке :

Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку , то в точке  данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции :

 

Ответ: .

2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.

а) Найти частные производные  и  данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых

;

при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D.

б) Вычислить значения данной функции  в этих точках.

в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1).

г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области D, ограниченной линиями , , .

Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных  и . Область , ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке .

а) Найдем частные производные данной функции

,  и определим критические точки:

Преобразуем систему к виду

или ,

Откуда  и, следовательно, .

Итак, данная функция имеет единственную стационарную точку , которая, очевидно, принадлежит области . При этом

.

б) Исследуем поведение функции на границе области .

На участке границы  имеем функцию одной переменной , . Тогда  и , если , откуда .

Итак, нахождению подлежит значение функции в точке , принадлежащей границе области :

На участке границы  имеем функцию одной переменной , . Тогда  и  при . В точке , принадлежащей границе области , имеем

Из уравнения прямой (участка границы)  выразим переменную  через  и подставим в заданную функцию. Получим, что при

или , .

Далее,  и , если , откуда . Тогда

В точке , принадлежащей границе области , имеем

Остается вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в угловых точках области ) и выбор наибольшего и наименьшего:

,

,

.

Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках , , а наименьшее значение равно -1 и достигается в точке .

Ответ:  достигается в точках  и ,  достигается в точке .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 249;