Задачи для контрольной работы. Рекомендовано редакционно-издательским советом университета



УДК

ББК

 

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

 

 

Рецензент

Кандидат технических наук доцент ГОУ ВПО ТГТУ

Е.Е. Мордовина

 

  Нахман А. Д., Петрова Е.А.
  «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»: Методические указания и контрольные задания. Тамбов: Изд-во ГОУВПО ТГТУ, 2012. - 32 с. ISBN
    Приведены краткие теоретические сведения и алгоритмы решения стандартных задач по разделу курса математики "Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных". Предложены 25 вариантов контрольных заданий. Для студентов очной и заочной форм обучения.

 

 

 

Введение

 

 

Настоящие методические разработки подготовлены в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к основным образовательным программам естественно-математической подготовки бакалавров. Издание адресовано студентам 1 курса инженерных направлений. Целью издания является формирование и закрепление навыков в области решения задач по дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. В силу ограниченного объема работы авторы избегали точных формулировок основных определений и теорем, ограничиваясь объяснением смысла понятий и утверждений. По этой причине, студенту предварительно следует ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебнику или конспекту лекций.

Работа построена по модульному принципу. Речь идет о следующих модулях содержания:

предел и производная функции одной переменной, приложения производной (в том числе, к исследованию функций), частные производные функций нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных (в том числе, в теории скалярного поля и к исследованию экстремального поведения функций).

Образцы решений типовых задач предваряются изложением соответствующего алгоритма. Каждый параграф заканчивается перечнем контрольных заданий. Задачи составлены так, чтобы в процессе их решения не возникали технические трудности, преодоление которых «затушевывает» суть дела. Преподаватель, по своему усмотрению, может варьировать объем и уровень трудности заданий. Так, например, в заданиях на исследование функции минимальные требования могут быть сведены лишь к применению первой производной (исследование характера монотонности и экстремумов функции). Банк предлагаемых здесь задач может быть использован для формирования контрольных работ, адресованных студентам как очной, так и заочной форм обучения.

 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Предел функции одной переменной

 

1.1.1. Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана функция  и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению , но не совпадают с  (что будем записывать в виде ). Если при этом оказывается, что значения  становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, А есть предел функции  в точке  и записывают

.

В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем   ( ). Если не принципиально, какого знака значения аргумента х, то употребляем символ  Запись означает, что значения  становятся сколь угодно близкими к числу А при  Говорят также, что число А есть предел функции на бесконечности.

Если в (любом из трех рассмотренных случаев) А=0, то функция называется бесконечно малой. 

Возможен также случай, когда значения функции неограниченно растут (к  или - ) при стремлении аргумента х к некоторому или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно

 и ,

а функцию называют бесконечно большой (при  и соответственно).

Следует заметить, что если функция  - бесконечно большая (бесконечно малая), то функция  бесконечно малая (бесконечно большая).

Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) , то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись

.

1.1.2.  Всякая элементарная функция  непрерывна на своей области определения . Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции  во всякой точке : .

Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.

1.1.3. Неопределенностями (при  или ) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения (  или ) принимают вид ,  и др.

1.1.4. Приемы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путем одновременного деления числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем прием на следующем примере.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на

=

Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к  в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде

.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на  и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х , (который при не равен нулю). В результате имеем

 

так что искомый предел равен 0,5.

1.1.5. Замечательные пределы.

1) При  отношение  представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что .

2) При  показательно-степенное выражение вида  представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу е=2,7…: .

Рассмотренные пределы называются , соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме

.

Пример. Вычислить a) , б) , в) .

Решение. а) Имеем неопределенность вида . Заметим, что при (см. первый замечательный предел) отношение (вместе с ) стремится к единице. При вычислении предела отношения  можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить и заметить, что  при . Остается выполнить преобразование

=

и закончить вычисление:

=3

б) Имеем «комбинированную» неопределенность вида . Если выделить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:

= .

Теперь  при , поэтому в показателе степени удобно выделить выражение вида , т.е. :

= .

Теперь, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдем по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:

 (второй замечательный предел при ),

Имеем .

в) Непосредственная подстановка значения  приводит к неопределенному выражению вида . Снова используем прием выделения слагаемого, равного 1:

=

 

Задачи для контрольной работы

Вычислить пределы:

1. а)           б)          в)

2. а)      б)                   в)

3. а)           б)               в)

4. а)            б)              в)

5. а)       б)                   в)  

6. а)             б)              в)  

7. а)         б)              в)  

8. а)         б)              в)  

9. а)           б)         в)  

10. а)          б)               в)  

11. а)          б)            в)  

12. а)       б)              в)  

13. а)        б)                   в)  

14. а)          б)              в)  

15. а)        б)              в)  

16. а)        б)               в)  

17. а)        б)             в)  

18. а)      б)              в)  

19. а)       б)            в)  

20. а)        б)         в)  

21. а)         б)            в)  

22. а)         б)               в)  

23. а)         б)              в)  

24. а)       б)       в)  

25. а)            б)   в)  

1.2.  Производная функции одной переменной

 

1.2.1. Если значение аргумента функции  получило приращение  (изменилось на величину ), то соответствующее приращение (изменение) функции  есть . Величину  естественно назвать средней скоростью изменения функции , соответствующей изменению аргумента от х до х+ ; «мнговенной» же скоростью изменения функции в точке х тогда следует считать предел вида

называемый производной функции f и обозначаемый ,  или . Операция взятия производной называется дифференцированием функции.

1.2.2. Таблица производных основных элементарных функций.

1) ;                                      9) ;

2) ;                                                  10) ;

3) ;                                                  11) ;

4) ;                                                    12) ;

5) ;                                                        13) ;

6) ;                                                 14) ;

7) ;                                                       15) ;

8) ;                                            16) .  

1.2.3. Правила дифференцирования. Пусть , , , тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

1.2.4. Производная сложной функции  вычисляется по правилу

, где  Так, например,

1.2.5. Если зависимость  задана параметрически, т.е. в виде , то производная (или, в других обозначениях, ) вычисляется по формуле

1.2.6.Производная  также может рассматриваться как некоторая функция; в этом случае можно говорить о ее производной как второй производной данной функции: . Аналогично можно рассматривать третью и другие производные (производные высших порядков).

Примеры. 1. Вычислить , если .

Решение. В силу правил дифференцирования . Здесь мы имеем сложную логарифмическую функцию, а именно функцию аргумента . По формуле дифференцирования натурального логарифма «сложного аргумента» получаем тогда = .

2. Материальная точка движется прямолинейно, при этом зависимость пройденного расстояния  от времени  (закон движения) имеет вид . Найти скорость  точки в момент .

Решение. Согласно п.1.2.1 достаточно вычислить производную в точке . По формуле дифференцирования произведения и с учетом правила дифференцирования сложной функции мы имеем

3. Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение. Имеем: , а тогда по формуле дифференцирования функции, заданной параметрически, получаем .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 177;