Задачи для контрольной работы. Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
УДК
ББК
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
Рецензент
Кандидат технических наук доцент ГОУ ВПО ТГТУ
Е.Е. Мордовина
Нахман А. Д., Петрова Е.А. | |
«Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»: Методические указания и контрольные задания. Тамбов: Изд-во ГОУВПО ТГТУ, 2012. - 32 с. ISBN | |
Приведены краткие теоретические сведения и алгоритмы решения стандартных задач по разделу курса математики "Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных". Предложены 25 вариантов контрольных заданий. Для студентов очной и заочной форм обучения. |
Введение
Настоящие методические разработки подготовлены в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к основным образовательным программам естественно-математической подготовки бакалавров. Издание адресовано студентам 1 курса инженерных направлений. Целью издания является формирование и закрепление навыков в области решения задач по дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. В силу ограниченного объема работы авторы избегали точных формулировок основных определений и теорем, ограничиваясь объяснением смысла понятий и утверждений. По этой причине, студенту предварительно следует ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебнику или конспекту лекций.
|
|
Работа построена по модульному принципу. Речь идет о следующих модулях содержания:
предел и производная функции одной переменной, приложения производной (в том числе, к исследованию функций), частные производные функций нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных (в том числе, в теории скалярного поля и к исследованию экстремального поведения функций).
Образцы решений типовых задач предваряются изложением соответствующего алгоритма. Каждый параграф заканчивается перечнем контрольных заданий. Задачи составлены так, чтобы в процессе их решения не возникали технические трудности, преодоление которых «затушевывает» суть дела. Преподаватель, по своему усмотрению, может варьировать объем и уровень трудности заданий. Так, например, в заданиях на исследование функции минимальные требования могут быть сведены лишь к применению первой производной (исследование характера монотонности и экстремумов функции). Банк предлагаемых здесь задач может быть использован для формирования контрольных работ, адресованных студентам как очной, так и заочной форм обучения.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
|
|
Предел функции одной переменной
1.1.1. Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана функция и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению
, но не совпадают с
(что будем записывать в виде
). Если при этом оказывается, что значения
становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, А есть предел функции
в точке
и записывают
.
В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем (
). Если не принципиально, какого знака значения аргумента х, то употребляем символ
Запись
означает, что значения
становятся сколь угодно близкими к числу А при
Говорят также, что число А есть предел функции на бесконечности.
Если в (любом из трех рассмотренных случаев) А=0, то функция называется бесконечно малой.
Возможен также случай, когда значения функции неограниченно растут (к
или -
) при стремлении аргумента х к некоторому
или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно
и
,
а функцию называют бесконечно большой (при
и
соответственно).
|
|
Следует заметить, что если функция - бесконечно большая (бесконечно малая), то функция
бесконечно малая (бесконечно большая).
Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) , то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись
.
1.1.2. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения
. Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции
во всякой точке
:
.
Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.
1.1.3. Неопределенностями (при или
) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения (
или
) принимают вид
,
и др.
1.1.4. Приемы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путем одновременного деления числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем прием на следующем примере.
|
|
Пример. Вычислить .
Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на
=
Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде
.
Пример. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на
и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х , (который при
не равен нулю). В результате имеем
так что искомый предел равен 0,5.
1.1.5. Замечательные пределы.
1) При отношение
представляет собою неопределенность вида
. Можно доказать, что
.
2) При показательно-степенное выражение вида
представляет собою неопределенность вида
. Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу е=2,7…:
.
Рассмотренные пределы называются , соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме
.
Пример. Вычислить a) , б)
, в)
.
Решение. а) Имеем неопределенность вида . Заметим, что при
(см. первый замечательный предел) отношение
(вместе с
) стремится к единице. При вычислении предела отношения
можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить
и заметить, что
при
. Остается выполнить преобразование
=
и закончить вычисление:
=3
б) Имеем «комбинированную» неопределенность вида . Если выделить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:
=
.
Теперь при
, поэтому в показателе степени удобно выделить выражение вида
, т.е.
:
=
.
Теперь, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдем по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:
(второй замечательный предел при
),
Имеем .
в) Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенному выражению вида
. Снова используем прием выделения слагаемого, равного 1:
=
Задачи для контрольной работы
Вычислить пределы:
1. а) б)
в)
2. а) б)
в)
3. а) б)
в)
4. а) б)
в)
5. а) б)
в)
6. а) б)
в)
7. а) б)
в)
8. а) б)
в)
9. а) б)
в)
10. а) б)
в)
11. а) б)
в)
12. а) б)
в)
13. а) б)
в)
14. а) б)
в)
15. а) б)
в)
16. а) б)
в)
17. а) б)
в)
18. а) б)
в)
19. а) б)
в)
20. а) б)
в)
21. а) б)
в)
22. а) б)
в)
23. а) б)
в)
24. а) б)
в)
25. а) б)
в)
1.2. Производная функции одной переменной
1.2.1. Если значение аргумента функции
получило приращение
(изменилось на величину
), то соответствующее приращение (изменение) функции
есть
. Величину
естественно назвать средней скоростью изменения функции
, соответствующей изменению аргумента от х до х+
; «мнговенной» же скоростью изменения функции в точке х тогда следует считать предел вида
называемый производной функции f и обозначаемый ,
или
. Операция взятия производной называется дифференцированием функции.
1.2.2. Таблица производных основных элементарных функций.
1) ; 9)
;
2) ; 10)
;
3) ; 11)
;
4) ; 12)
;
5) ; 13)
;
6) ; 14)
;
7) ; 15)
;
8) ; 16)
.
1.2.3. Правила дифференцирования. Пусть ,
,
, тогда
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
1.2.4. Производная сложной функции вычисляется по правилу
, где
Так, например,
1.2.5. Если зависимость задана параметрически, т.е. в виде
, то производная
(или, в других обозначениях,
) вычисляется по формуле
1.2.6.Производная также может рассматриваться как некоторая функция; в этом случае можно говорить о ее производной как второй производной данной функции:
. Аналогично можно рассматривать третью и другие производные (производные высших порядков).
Примеры. 1. Вычислить , если
.
Решение. В силу правил дифференцирования . Здесь мы имеем сложную логарифмическую функцию, а именно функцию аргумента
. По формуле дифференцирования натурального логарифма «сложного аргумента» получаем тогда
=
.
2. Материальная точка движется прямолинейно, при этом зависимость пройденного расстояния от времени
(закон движения) имеет вид
. Найти скорость
точки в момент
.
Решение. Согласно п.1.2.1 достаточно вычислить производную в точке . По формуле дифференцирования произведения и с учетом правила дифференцирования сложной функции мы имеем
3. Найти производную функции, заданной параметрически: .
Решение. Имеем: , а тогда по формуле дифференцирования функции, заданной параметрически, получаем
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 402; Мы поможем в написании вашей работы! |

Мы поможем в написании ваших работ!