Задачи для контрольной работы. Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
УДК
ББК
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
Рецензент
Кандидат технических наук доцент ГОУ ВПО ТГТУ
Е.Е. Мордовина
| Нахман А. Д., Петрова Е.А. | |
| «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»: Методические указания и контрольные задания. Тамбов: Изд-во ГОУВПО ТГТУ, 2012. - 32 с. ISBN | |
| Приведены краткие теоретические сведения и алгоритмы решения стандартных задач по разделу курса математики "Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных". Предложены 25 вариантов контрольных заданий. Для студентов очной и заочной форм обучения. |
Введение
Настоящие методические разработки подготовлены в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к основным образовательным программам естественно-математической подготовки бакалавров. Издание адресовано студентам 1 курса инженерных направлений. Целью издания является формирование и закрепление навыков в области решения задач по дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. В силу ограниченного объема работы авторы избегали точных формулировок основных определений и теорем, ограничиваясь объяснением смысла понятий и утверждений. По этой причине, студенту предварительно следует ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебнику или конспекту лекций.
Работа построена по модульному принципу. Речь идет о следующих модулях содержания:
предел и производная функции одной переменной, приложения производной (в том числе, к исследованию функций), частные производные функций нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных (в том числе, в теории скалярного поля и к исследованию экстремального поведения функций).
Образцы решений типовых задач предваряются изложением соответствующего алгоритма. Каждый параграф заканчивается перечнем контрольных заданий. Задачи составлены так, чтобы в процессе их решения не возникали технические трудности, преодоление которых «затушевывает» суть дела. Преподаватель, по своему усмотрению, может варьировать объем и уровень трудности заданий. Так, например, в заданиях на исследование функции минимальные требования могут быть сведены лишь к применению первой производной (исследование характера монотонности и экстремумов функции). Банк предлагаемых здесь задач может быть использован для формирования контрольных работ, адресованных студентам как очной, так и заочной форм обучения.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Предел функции одной переменной
1.1.1. Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана функция 
и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению 
, но не совпадают с (что будем записывать в виде 
). Если при этом оказывается, что значения становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, А есть предел функции 
в точке и записывают 
.
В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем 
( 
). Если не принципиально, какого знака значения аргумента х, то употребляем символ 
Запись 
означает, что значения становятся сколь угодно близкими к числу А при Говорят также, что число А есть предел функции на бесконечности.
Если в (любом из трех рассмотренных случаев) А=0, то функция 
называется бесконечно малой.
Возможен также случай, когда значения функции неограниченно растут (к 
или - 
) при стремлении аргумента х к некоторому или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно
и 
,
а функцию называют бесконечно большой (при и 
соответственно).
Следует заметить, что если функция - бесконечно большая (бесконечно малая), то функция 
бесконечно малая (бесконечно большая).
Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) 
, то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись
.
1.1.2. Всякая элементарная функция 
непрерывна на своей области определения 
. Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции во всякой точке 
: 
.
Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.
1.1.3. Неопределенностями (при или ) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения ( 
или ) принимают вид 
, 
и др.
1.1.4. Приемы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путем одновременного деления числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем прием на следующем примере.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на 
= 
Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к 
в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Имеем неопределенность вида 
. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на 
и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х , (который при 
не равен нулю). В результате имеем
так что искомый предел равен 0,5.
1.1.5. Замечательные пределы.
1) При 
отношение 
представляет собою неопределенность вида 
. Можно доказать, что 
.
2) При показательно-степенное выражение вида 
представляет собою неопределенность вида 
. Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу е=2,7…: 
.
Рассмотренные пределы называются , соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме
.
Пример. Вычислить a) 
, б) 
, в) 
.
Решение. а) Имеем неопределенность вида . Заметим, что при 
(см. первый замечательный предел) отношение 
(вместе с 
) стремится к единице. При вычислении предела отношения 
можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить 
и заметить, что 
при 
. Остается выполнить преобразование
= 
и закончить вычисление:
=3 
б) Имеем «комбинированную» неопределенность вида 
. Если выделить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:
= 
.
Теперь 
при 
, поэтому в показателе степени удобно выделить выражение вида 
, т.е. 
:
= 
.
Теперь, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдем по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:
(второй замечательный предел при 
), 
Имеем 
.
в) Непосредственная подстановка значения 
приводит к неопределенному выражению вида 
. Снова используем прием выделения слагаемого, равного 1:
= 
Задачи для контрольной работы
Вычислить пределы:
1. а) 
б) 
в) 
2. а) 
б) 
в) 
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
11. а) 
б) 
в) 
12. а) 
б) 
в) 
13. а) 
б) 
в) 
14. а) 
б) 
в) 
15. а) 
б) 
в) 
16. а) 
б) 
в) 
17. а) 
б) 
в) 
18. а) 
б) 
в) 
19. а) 
б) 
в) 
20. а) 
б) 
в) 
21. а) 
б) 
в) 
22. а) 
б) 
в) 
23. а) 
б) 
в) 
24. а) 
б) 
в) 
25. а) 
б) 
в) 
1.2. Производная функции одной переменной
1.2.1. Если значение аргумента 
функции получило приращение 
(изменилось на величину ), то соответствующее приращение (изменение) функции есть 
. Величину 
естественно назвать средней скоростью изменения функции 
, соответствующей изменению аргумента от х до х+ ; «мнговенной» же скоростью изменения функции в точке х тогда следует считать предел вида
называемый производной функции f и обозначаемый 
, 
или 
. Операция взятия производной называется дифференцированием функции.
1.2.2. Таблица производных основных элементарных функций.
1) 
; 9) 
;
2) 
; 10) 
;
3) 
; 11) 
;
4) 
; 12) 
;
5) 
; 13) 
;
6) 
; 14) 
;
7) 
; 15) 
;
8) 
; 16) 
.
1.2.3. Правила дифференцирования. Пусть 
, 
, 
, тогда
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
1.2.4. Производная сложной функции 
вычисляется по правилу
, где 
Так, например,
1.2.5. Если зависимость 
задана параметрически, т.е. в виде 
, то производная 
(или, в других обозначениях, 
) вычисляется по формуле
1.2.6.Производная 
также может рассматриваться как некоторая функция; в этом случае можно говорить о ее производной как второй производной данной функции: 
. Аналогично можно рассматривать третью и другие производные (производные высших порядков).
Примеры. 1. Вычислить , если 
.
Решение. В силу правил дифференцирования 
. Здесь мы имеем сложную логарифмическую функцию, а именно функцию аргумента 
. По формуле дифференцирования натурального логарифма «сложного аргумента» получаем тогда 
= 
.
2. Материальная точка движется прямолинейно, при этом зависимость пройденного расстояния 
от времени 
(закон движения) имеет вид 
. Найти скорость 
точки в момент 
.
Решение. Согласно п.1.2.1 достаточно вычислить производную в точке . По формуле дифференцирования произведения и с учетом правила дифференцирования сложной функции мы имеем
3. Найти производную функции, заданной параметрически: 
.
Решение. Имеем: 
, а тогда по формуле дифференцирования функции, заданной параметрически, получаем 
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 402; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!