Задачи для контрольной работы. 1.2Найти производную функции  (в п.б функция у(х) задана параметрически) :



1.2Найти производную функции  (в п.б функция у(х) задана параметрически) :

1.    а) ;                           б)

2.    а) ;                  б)

3. а)                               б)

4. а) ;                    б)

5. а) ;                           б)

6. а) ;                           б)

7. а) ;                           б)

8. а) ;              б)

9. а) ;              б)

10. а) ;                          б)

11. а) ;                    б)

12. а) ;              б)

13. а)                             б)

14. а)                       б)

15. а)                        б)

16. а)           б)

17. а)                    б)

18. а)                           б)

19. а)                            б)

20. а)                             б)

21. а)                      б)

22. а)                    б)

23. а)                      б)

24. а)                       б)

25. а)               б)

Касательная и нормаль. Правило Лопиталя

1.3.1.  Касательная к графику функции (кривой) , проведенная в точке , имеет уравнение

Нормаль, к графику функции (кривой) , проведенная в точке  (т.е. перпендикуляр к касательной в точке касания) в том случае, если  имеет уравнение

 

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке .

Решение. В нашем случае точка касания имеет (по условию задачи) координаты . Вычислим  тогда . Уравнение   или  является уравнением касательной, а уравнение  или  есть уравнение нормали к заданной кривой в указанной точке.

 

Задачи для контрольной работы

 

1.3.1.  Составить уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке :

1.                                   14.

2.                                     15.

3.                     16.

4.                      17.

5.                             18.

6.                           19.

7.                              20.

8.                                  21.

9.                                 22.

10.                              23.

11.                           24.

12.                                   25.

13.

1.3.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и  состоит в следующем: если существует предел вида , то

= .

Здесь а – некоторая точка или бесконечность любого знака.

Если отношение производных при  снова есть неопределенность указанного выше вида, то правило можно применить снова, переходя ко вторым производным и т.д.

Пример. Вычислить .

Решение. Функции  и  бесконечно большие при , т.е. имеем неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя:

= . Снова при  имеем неопределенное выражение . Повторное применение правило Лопиталя приводит к следующему результату:

 

Задачи для контрольной работы

1.3.2.Вычислить пределы:

1.                               10.                           18.

2.                                  11.                         19.

3.                12.                          20.

4.                           13.                            21.

5. .                        14.                      22.

6.                               15.                           23.

7.                     16.                             24.

8.                           17.                           25.

9.                              

Применение производной к исследованию функций

Исследование по первой производной: монотонность, экстремумы

В основе исследования функции на монотонность (возрастание, убывание) и экстремумы (максимумы, минимумы) лежат следующие положения:

а) интервалы, где, служат интервалами возрастания функции ; на интервалах, где , функция убывает;

б) точки перемены знака  с «+» на «-» служат точками максимума (точка наибольшего значения функции среди всех ее значений из некоторой окрестности этой точки) , а с «-» на «+» - точками минимума (точка наименьшего значения функции в некоторой окрестности).

1.4.2. Исследование по второй производной: характер выпуклости

Говорят, что дуга линии имеет определенный характер выпуклости, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках. Такая дуга лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги: если целиком ниже касательной, то дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), а если выше – то вогнутой (выпуклой вниз).

В основе исследования функции на характер выпуклости лежат следующие положения:

а) интервалы, где , служат интервалами вогнутости графика функции ; на интервалах, где , график функции выпукл;

б) точки перемены знака второй производной  служат точками перегиба графика, т.е. точками перемены характера выпуклости.

Асимптоты графика

Вертикальная асимптота  графика функции  возникает во всякой точке , где эта функция не определена, и хотя бы один из односторонних ее пределов в точке  равен бесконечности.

График функции обладает асимптотой  на бесконечности (наклонной асимптотой), если существуют оба числа (оба предела)

 ;

при этом, вообще говоря, следует рассмотреть отдельно оба случая  и .

Если первый из указанных пределов не существует, или существует первый, но не существует второй, то график не обладает асимптотой (на бесконечности соответствующего знака).  

1.4.4. Алгоритм полного исследования функции

1. Исследование элементарными методами: область определения, характер четности, периодичность.

2. Точки разрыва, вертикальные асимптоты.

3. Исследование на монотонность и экстремумы.  

4. Характер выпуклости, точки перегиба.

5. Асимптоты на бесконечности.

Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена при всех . Поскольку ее область определения не обладает симметрией относительно начала координат, то вопрос о характере четности не стоит: функция ни четна, ни нечетна. Очевидно, что функция непериодична.

2. Функция претерпевает разрыв при  Исследуем ее поведение при стремлении х к 1 слева (т.е. при , что обозначается в виде  и справа (т.е. при , что обозначается в виде . В первом случае функция остается отрицательной, и знаменатель дроби стремится к нулю, так что

.

Во втором случае дробь будет положительной,  поэтому

.

Следовательно, прямая х=1 служит вертикальной асимптотой графика.

3. Имеем  Критическими точками первой производной (т.е. точками, где она не определена или обращается в ноль), служат точки  Этими точками числовая ось разбивается на интервалы знакопостоянства производной  При  имеем , а значит функция возрастает; при  а также при  имеем , так что в каждом из этих интервалов функция убывает; наконец, при , так что в этом интервале функция возрастает.

В точке х=0 производная  изменила свой знак с «+» на «-», следовательно, в этой точке данная функция достигла своего максимального значения: .

В точке х=2 производная  изменила свой знак с «-» на «+», так что в этой точке данная функция приняла минимальное значение:

  1. Найдем вторую производную:

Имеем при , так что в указанном интервале график функции выпукл;  при , следовательно, в интервале  график вогнут. В точке х=1 (критическая точка второй производной) функция не определена; следовательно, точек перегиба график не имеет.

5. Определяем асимптоты графика на бесконечности (наклонные асимптоты). В случае  коэффициенты уравнения прямой  будут следующими (если соответствующие пределы будут существовать):

Итак, , так что график обладает асимптотой  на  Точно такие же вычисления пределов при  приводят к следующему результату: график обладает той же асимптотой  и на

Соединяя результаты полного исследования, изображаем эскиз графика функции:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 220;