Задачи для контрольной работы. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке .



Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке .

1. , .                             14. .

2. , .                   15. .

3. , .                            16. .

4. .                    17. .

5. , .                           18. .

6. .                                  19. .

7. .                                           20. .

8. .                                     21. .

9. .                                          22. .

10. .                                23. .

11. .                                            24. .

12. .                                              25. .

13. .

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

2.1. Частные производные.

2.1.1.Вычисление частных производных функции двух переменных.Пусть функция двух переменных задана в некоторой области  координатной плоскости. Если зафиксировать значение у, то эту функцию можно рассматривать как функцию одной переменной х, и, следовательно , ставить вопрос о дифференцировании по переменой х. В этой ситуации производная , вычисленная по переменной х, называется частной производной от f по х; она обозначается также  или . Точно также производную функции f, вычисленную по переменной у при фиксированном х, называют частной производной функции f по у и обозначают ,  или . При вычислении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования. В частности, если вычисляем , то множитель целиком зависящий только от переменной у, можно вынести за знак производной; точно также поступаем с множителем, целиком зависящим только от переменной х при нахождении .

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. При вычислении  множитель  и слагаемое  рассматриваем как постоянные величины. Следовательно,

При вычислении  множитель  рассматриваем как постоянную величину:

Итак,

2.1.2.Частные производные высших порядков.

Частные производные   и  данной функции  можно, в свою очередь, рассматривать как функции двух переменных х и у. Следовательно, имеет смысл ставить вопрос о нахождении уже их частных производных - производных второго порядка:

 -производная дважды по х;  -производная дважды по у;

 -«смешанные» частные производные второго порядка по переменным х и у.

Для элементарных функций двух переменных результат вычисления смешанных производных на самом деле не зависит от порядка дифференцирования: .

Пример. Вычислить все частные производные функции

Решение. Cначала вычисляем производные первого порядка:

Теперь , , .

 

Задачи для контрольной работы

Вычислить частные производные по переменным  и  данных функций.

1. .                                     14. .

2. .                                                 15. .

3. .                                             16. .

4. .                                       17.

5. .                                           18. .

6. .                                             19. .

7. .                                            20. .

8. .                                            21. .

9. .                                                  22. .

10. .                                     23. .

11. .                                                 24. .

12. .                                                 25. .

13. .

Производная неявной функции.

Неявная функция одной переменной.

Пусть зависимость переменной  от переменной , т.е. функция  задана неявно, т.е. в виде уравнения . Тогда производная функции  может быть вычислена в виде

Пример. Неявная функция  задана уравнением . Найти .

Решение. Имеем . Теперь ищем частные производные функции :

,

.

Следовательно, .

Итак, .

 

Неявная функция двух переменных.

Уравнением  задается зависимость переменной z  от переменных x и y. Если эта зависимость  - функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычислении частных производных  и .

Имеют место соотношения

, .

Пример. Неявная функция двух переменных задана уравнением . Найти  и .

Решение. Имеем . Найдем частные производные , , .

Теперь , .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 269;