Задачи для контрольной работы. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
.
1. ,
. 14.
.
2. ,
. 15.
.
3. ,
. 16.
.
4.
. 17.
.
5. ,
. 18.
.
6.
. 19.
.
7.
. 20.
.
8.
. 21.
.
9.
. 22.
.
10.
. 23.
.
11.
. 24.
.
12.
. 25.
.
13.
.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
2.1. Частные производные.
2.1.1.Вычисление частных производных функции двух переменных.Пусть функция двух переменных задана в некоторой области координатной плоскости. Если зафиксировать значение у, то эту функцию можно рассматривать как функцию одной переменной х, и, следовательно , ставить вопрос о дифференцировании
по переменой х. В этой ситуации производная
, вычисленная по переменной х, называется частной производной от f по х; она обозначается также
или
. Точно также производную функции f, вычисленную по переменной у при фиксированном х, называют частной производной функции f по у и обозначают
,
или
. При вычислении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования. В частности, если вычисляем
, то множитель целиком зависящий только от переменной у, можно вынести за знак производной; точно также поступаем с множителем, целиком зависящим только от переменной х при нахождении
.
|
|
Пример. Найти частные производные функции .
Решение. При вычислении множитель
и слагаемое
рассматриваем как постоянные величины. Следовательно,
При вычислении множитель
рассматриваем как постоянную величину:
Итак,
2.1.2.Частные производные высших порядков.
Частные производные и
данной функции
можно, в свою очередь, рассматривать как функции двух переменных х и у. Следовательно, имеет смысл ставить вопрос о нахождении уже их частных производных - производных второго порядка:
-производная дважды по х;
-производная дважды по у;
-«смешанные» частные производные второго порядка по переменным х и у.
Для элементарных функций двух переменных результат вычисления смешанных производных на самом деле не зависит от порядка дифференцирования: .
Пример. Вычислить все частные производные функции
Решение. Cначала вычисляем производные первого порядка:
Теперь
,
,
.
Задачи для контрольной работы
Вычислить частные производные по переменным и
данных функций.
|
|
1. . 14.
.
2. . 15.
.
3. . 16.
.
4. . 17.
5. . 18.
.
6. . 19.
.
7. . 20.
.
8. . 21.
.
9. . 22.
.
10. . 23.
.
11. . 24.
.
12. . 25.
.
13. .
Производная неявной функции.
Неявная функция одной переменной.
Пусть зависимость переменной от переменной
, т.е. функция
задана неявно, т.е. в виде уравнения
. Тогда производная функции
может быть вычислена в виде
Пример. Неявная функция задана уравнением
. Найти
.
Решение. Имеем
. Теперь ищем частные производные функции
:
,
.
Следовательно,
.
Итак,
.
Неявная функция двух переменных.
Уравнением задается зависимость переменной z от переменных x и y. Если эта зависимость
- функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычислении частных производных
и
.
|
|
Имеют место соотношения
,
.
Пример. Неявная функция двух переменных задана уравнением . Найти
и
.
Решение. Имеем . Найдем частные производные
,
,
.
Теперь ,
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 438; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!