Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.



Уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно решить.

- характеристический многочлен.

 - характеристическое уравнение.

 

1) комплексные корни

2) кратные корни

Линейные неоднородные уравнения.

1) Теорема об общем решении.

Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

 Док-во:

2) Допустим есть S уравнений типа:

Док-во:

3) Если  чисто действит.

, то тогда

Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

 

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для уравнения 2-ого порядка.

 

Уравнения Эйлера.

Однородные уравнения Эйлера.

1) 2 комплексно сопряженных корня, остальные разные

2) корни действительные, но кратные

3) корни кратные и комплексно сопряженные

 

Неоднородные уравнения Эйлера.

Если  и не специального вида, то используем метод Лагранжа.

Если правая часть специального вида:

m – кратность корня.

 

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема существования и единственности.

Если все функции  непрерывны и непрерывны их частные производные  в окрестности точки , тогда существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

 

Поле направлений.

 -равноправные решения

Пространство этих переменных – координаты фазового пространства.

 - фазовая траектория

t – время.

 - фазовые скорости.

1. Неавтономные системы. Это та, для которой , но  

В неавтономных системах фазовые траектории могут пересекаться.

2. Автономные системы. Это когда , но

 -для автономных систем

 -для пересекающихся решений

Два разных решения обладают одним и тем же начальным условием, а по теореме о существовании и единственности такого быть не может. Следовательно, решения автономных систем не пересекаются.

 

Сведение системы n уравнений 1-го порядка к одному уравнению порядка n.

Первые n-1 уравнений рассмотрим как алгебраическую систему относительно

 

Системы линейных уравнений.

Линейные – это те уравнения, в которые функция и её производная входят линейным образом.

 - непрерывны

1.  линейная однородная система.

1) Если - решение однородной системы,  - тоже её решение, тогда суперпозиция этих решений с постоянными коэффициентами тоже будет решением:

2) Если решение имеет комплексный вид, тогда каждая из функций  по отдельности также будет решением при условии, что само уравнение было действительным.

3) Общее решение находится как сумма всех частных линейно независимых решений с постоянными коэффициентами.

2.  - неоднородные системы

1) Если  - какое-то частное решение однородного уравнения, а  - частное решение неоднородного уравнения, тогда  тоже будет каким-то частным решением неоднородного уравнения.

2) Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и  любого частного решения неоднородного уравнения:

3) Если правая часть  является суперпозицией некоторых функций, а - частное решение системы с правой частью , тогда частное решение, соответствующее правой части , будет иметь вид:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 158; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ