Уравнения 1-ого порядка не разрешенные относительно производной.



1) уравнения которые не разрешены, но их можно разрешить относительно производной

2) уравнения, которые невозможно разрешить относительно производной

Теорема существования и единственности решения.

Если в некоторой области D на плоскости XY выполняются следующие условия:

тогда через каждую точку области D проходит одна интегральная кривая по данному направлению.

Особой является точка, через которую не проходит ни одного решения или нескольких с одинаковыми касательными.

 

Метод введения параметра.

1) Уравнения разрешенные относительно y

 - общее решение в параметрическом виде.

 

2) Уравнения разрешенные относительно x.

- общее решение в параметрическом виде.

 

Уравнения Лагранжа и Клеро.

 

Уравнение Клеро.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Теорема существования и единственности решения.

Если в некоторой области D на плоскости XY непрерывны и ограничены сама функция f, а так же ее частные производные по y,y’,y”,…, , то тогда в этой области через любую точку будет проходить единственная интегральная кривая, удовлетворяющая следующим условиям:

-начальные условия

через любую точку будет проходить бесконечное число интегральных кривых.

 

Дифференциальные уравнения семейства кривых.

 

Методы понижения порядка ДУ.

1) Уравнения не содержащие саму ф-ию и ее производные до (m-1) порядка

2) Уравнения не содержащие x

3)

Линейные ДУ.

если g(x)=0 – линейное уравнение однородно

если  - неоднородно.

Введем линейный дифференциальный оператор

 

Линейные однородные уравнения.

1) Если функции  являются решениями линейного ДУ, то  тоже будет решением.

2) Теорема о комплексных решениях.

Решаем уравнение  и находим решения этого уравнения в комплексном виде:

. Тогда каждая из функций u(x) и v(x) в отдельности так же являются решениями этого ДУ.

Функции  называются линейно зависимыми, если  при не всех  равных 0.

Функции линейно независимы, если это равенство выполняется при всех .

Определить Вронского.

3) Если функции  являются линейно зависимыми, то определитель Вронского  этой системы функций равен 0.

 

 

4) Если функции  являются линейно независимыми частными решениями ДУ , то определитель Вронского этой системы функций будет отличен от 0 при любых x.

 - линейно зависимы, что противоречит условию.

Следовательно .

5) Общее решение однородного линейного ДУ порядка n записывается в виде линейной комбинации n любых линейно независимых частных решений этого ДУ.

Порядок и число решений должны совпадать.

1) y(x) - решение

2) Докажем, что решение общее это решение общее.

Следствие: у линейного уравнения порядка n должно быть n линейно независимых частных решений.

Фундаментальная система решений данного уравнения – n линейно независимых решений ДУ порядка n.

6) Фундаментальная система решений ДУ всегда существует.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 217; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ