Математичні моделі динамічних систем



Фундаментальним в теорії динамічних систем є поняття стану тієї чи іншої системи. Вважають, що ста системи х(t) можна спостерігати або ідентифікувати в просторі станів.

Простір станів є математичним простором,кожен елемент якого повністю визначає стан системи, поточні зміни процесу відображаються як рух елементів в прості станів.

Математичні моделі системи у термінах змінних станом є основними при розв’язанні задач оцінки, прогнозу, керування.

Стан х(t) системи S(t) у кожний момент часу є однозначно визначає величину виходу y(t).

X(t)=f(S(t))
                      S(t)

U(t)                                  y(t)             

 вхід                                   вихід

 

x(t)=f(S(t), t)    

Аналогічним є зв'язок входу U(t) і стану системи. Таким чином, якщо якийсь об’єкт, що взаємодія з даною системою, може впливати на її стан, то це можливо через значення вхідних впливів U(t), що визначають вихідні впливи y(t).

Таким чином існує можливість визначення співвідношення двох або більше систем, зважаючи на відповідні значення вхідних впливів х(t), від параметру самої системи.

Дві системи вважаються еквівалентними за умов однакових закономірностей при

Характерно, що для системи в цьому випадку достатньо розглянути 3 процеси: на входи, виходи і простори стану. Ці процеси відповідно називаються вхідні процеси – це процес управління, задається рівнянням управління; процес спостереження – задається рівнянням спостереження; процес стану – задається рівнянням стану.

 

Лекція 9

Процес спостереження визначає зв’язок стану та значенням виходу системи.

Y(t)=H(t)X(t)          (4.2)

H(t)  - коефіцієнт спостереження

Для динамічних систем він є залежним від часу .

Для статичних систем – це є як коефіцієнт і не залежить від часу.

Рівняння спостереження (4.2) є лінійним . До складу рівняння можна включити певні завади:

Y(H)=H(t)X(t)+V(t)

V(t) - це шум спостереження (білий шум) ,похибки при вимірюванні приладом з скінченною точністю.

Коефіцієнт спостереження H(t) визначає підсилення або загасання вхідного впливу. Вхідні впливи в багатьох випадках інтерпретуються як управління-спостереження.

Якщо до рівняння (4.2)ввести управління, то це рівняння буде мати вигляд.

Y(t)=H(t)X(t)+B(t)+U(t)+V(t)

На практиці даний підхід використовується для розв’язання задачі завадо захисту. Управляючий вплив U(t) набуває характеру необхідного для подавлення шумових сигналів та підсилення корисної інформації. Системи принципово поділяються на детерміновані та імовірності. Кожна з яких може мати лінійний або не лінійний характер. Для детермінованої динамічної системи можна використати такий математичний опис:

X(t) Є X (1)

U(t) Є U (2)

Х - множина станів системи (1)

U- множина збурюючих впливів (2)

 

   - швидкість зміни станів системи

Якщо швидкість зміни станів системи дорівнює 0 ,то система перебуває у стані спокою. Модель системи , яка представлена рівнянням (3) може залежати не тільки від безперервного часу, а може також бути описана для дискретного часу (для якихось відліків часу). Опис моделі для дискретного часу застосовується при цифровій обробці сигналів, тоді вхідний сигнал представляється цифровими відліками, так само як і вихідний,але у певні задані моменти часу, що слідують через визначені інтервали.

Система, модель якої може бути задана називається управляючим. В загальному випадку ,коли U еквівалентне 0 то така система є вільною.

Система для якої f(x(t),t)=0 називається стаціонарною, а сам її стан рівноважний.

Лінійною є така система у якої функція f лінійна відносно своїх аргументів, а точніше : X(t), U(t), t,  в іншому випадку система є нелінійною.

Однією з найхарактерніших властивостей системи є цілісність або емерджентність.

Для системи зв’язку властивість щодо забезпечення стійкості та інших важливих показників не є простою сумою властивостей елементів з яких вони складаються.

Система з живої природи (мурашки) а також у суспільстві системні властивості , а також не є простою сумою властивостей індивідууму. Найголовнішою властивістю штучних систем є керованість. Вони визначаються як умова можливості переведення системи з одного стану в інший за заданий час (за 1 крок,за декілька кроків, з мінімальною витратою енергії на управління за заданою траєкторією).

Як в управляючий вплив U(t) за звичай поступає сигнал, що впливає на управляючий прилад або регулятор чим власне і досягається бажаний кінцевий стан системи. Якщо управляючий вплив формується у відповідному приладі, то – це автоматичне управління. Разом з тим управляючі впливи можуть бути сформовані особою, що приймає рішення. В цьому випадку говорять ситуаційне управління.

Якщо дане управління здійснюють за допомогою технологічних процесів то це автоматизоване управління. Реалізація кінцевої задачі управління можлива за певних умов або властивостей системи, якими є спостережуваність і ідентифікованість.

В процесі управління багато залежить від того яким буде її кінцевий час.

Теорія політичного управління залежить від того, який був початковий стан системи, яким чином за складною траєкторією завдяки управлінню досягається кінцева мета.

X(t)=Xo+ X(t)

Xo – початковий стан

∆X(t) - Кінцевий стан

U(t) - Траєкторія

U(t)=Uo+U(t)

U(t)=Uo+ U

Необхідною умовою управління для лінійної системи що описується диференціальним рівнянням є така:

 A:n×n – матриця

B:n×r - матриця

Необхідною є залежність:

Ran k [B/AB/ B/…/ B]=n

Це означає, що впливи в системі подаються у матричній формі і не має бути координат відносно яких не було б виділено відповідних управляючих впливу. Якщо є кілька некерованих параметрів , то існує велика імовірність того, що систему не можливо перевести у потрібний кінцевий стан.

Спостереження системи є необхідною умовою її синтезу та управління . Вона полягає у можливості прямого або непрямого вимірювання параметрів , які беруть участь у формуванні управляючих впливів. Для систем зв’язку спостереження досягається коли по каналах телеконтролю або шумовому зв’язку до управляючого центру надходить інформація про стан аналізу зв’язку, технічний стан апаратури.

Ідентифікованість – це властивість системи , що характеризує можливість визначення параметрів системи, до їх налаштування за результатами спостереження.

Математична модель ідентифікується коли намагається досягнути її адекватності з реальною системою. Для задачі ідентифікації використовуються статистичні методи, точкові або інтервальні матриці цих параметрів, регерсивні методи.

Успішність ідентифікації системи залежить від того яким чином змінюються параметри {а}, що ідентифікуються в системі S(x)

а – параметри

Для системи, яка описує рівняння стану і рівняння спостереження

y(t)=y=h(x,U,a,t)

Найбільш придатним та необхідними умовами ідентифікацій є , коли   , що відповідає випадку системи з постійним параметром а , що є вибіркою випадкової величини, яку слід ідентифікувати. Найпрактичнішим і найпоширенішим випадком є тоді коли задача ідентифікації вирішується разом з задачою оцінки стану системи  

  - оцінюючий стан системи

Оцінка може бути одержана за допомогою рекурсивних процесів.

Y(t)=HX(k)+ξ(k)

ξ(k)

HX(k)

Оцінка параметрів в постійні ітерації системи ґрунтується параметрах здобутих в результаті оцінки тестової послідовності (y(k)-H ) з певним коефіцієнтом (Z(k)).

Z(k) – коефіцієнт що обумовлює збіжність процедури до сталого стану.

Адаптованість – це властивість , що визначає спроможність забезпечувати необхідний режим функціонування в умовах невизначеності по відношенню до зовнішніх впливів динамічної системи. Вона має бути керованою , спостережу вальною і здатною ідентифікуватися, як по відношенню до самої себе, так і до зовнішніх впливів. Необхідний рівень стійкості системи можна одержати якщо система при деструктивних впливах втрачає частину ресурсу, але того ресурсу що залишився достатнім для виконання задачі – ентропія.

Існують два види адаптивних систем:

- Адитивні системи першого виду досягаються за рахунок такого виду внутрішніх станів та режимів окремих елементів, що при різноманітних непередбачених небажаних впливів або випадкових невизначених модифікацій параметрів забезпечують необхідне функціонування даної системи при збереження її структури. Така система називається *гомеостатична адитивна система* . Якщо по відношенню до різних впливів чи модифікацій в системі припустима її реструктуризація , структурна модифікація, то така система називається мрфо-генетичною адаптивною системою.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 331;