Критерии проверки и оценка решений задания 14
Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Задача 14 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Все рёбра правильной треугольной призмы 
имеют длину 
. Точки 
и 
— середины рёбер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
.
|
Решение. а) Пусть точка 
— середина 
. Тогда
.
Вместе с тем
,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .
б) Проведём перпендикуляр 
к прямой 
. Тогда 
и 
. Следовательно, 
. Поэтому 
— проекция на плоскость 
.
Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
. Следовательно, угол 
— линейный угол искомого угла.
Длина равна половине высоты треугольника 
, то есть 
. Поэтому 
. Следовательно, 
.
Ответ: б) 
.
Задание 1
|
|
|
В правильной треугольной призме сторона 
основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
. Точка — середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Решение.
а) Проведём через точки и прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра  и  в точках  и  соответственно (рис. 1). Тогда трапеция  является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость  . Пусть эта плоскость пересекает прямые ,  и  в точках ,  и  соответственно. Четырёхугольник  — прямоугольник, причём  ,  .
| 
|
Кроме того, 
, 
, откуда 
, 
. Пусть 
— высота трапеции 
(рис. 2), тогда
 .
Поскольку  ,
 ,
то есть прямые  и перпендикулярны.
| 
|
Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .
б) Расстояние от точки до плоскости равно 
, а площадь трапеции равна
.
Значит, искомый объём равен 
.
Ответ: б) 
.
Задание 2
Основанием четырёхугольной пирамиды 
является трапеция 
, причём 
. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых 
и 
.
|
|
|
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды 
, если 
, а высота пирамиды равна 9.
Решение.
|
а) Заметим, что 
. Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, 
— высота пирамиды. Таким образом, угол 
является линейным углом двугранного угла между плоскостями и . Значит, они перпендикулярны.
б) Поскольку 
, трапеция является равнобедренной. Значит,
;
.
Таким образом, площадь треугольника 
равна 
,
а объём пирамиды равен 
.
Ответ: б) 12.
Задание 3
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания равна 6, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах и 
отмечены точки и соответственно, причём 
. Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой .
Рис. 1
Рис. 2
|
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости .
Решение.
а) По условию 
, значит, прямые 
и параллельны. Следовательно, плоскости 
и параллельны (рис. 1).
|
|
|
Поскольку отрезки и 
параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .
б) Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки 
и — середины рёбер и соответственно. Тогда прямые 
и перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость 
перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках 
и 
соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию 
от точки до прямой 
. Высота 
пирамиды лежит в плоскости , откуда
, 
; 
.
Плоскости и 
параллельны, поэтому 
, откуда
.
Ответ: б) 
.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 56; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!