Задача 16 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Две окружности касаются внешним образом в точке 
Прямая 
касается первой окружности в точке 
, а второй — в точке 
Прямая 
пересекает первую окружность в точке 
прямая 
пересекает вторую окружность
в точке 
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение. а) Обозначим центры окружностей 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая
к окружностям в точке 
пересекает в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны,
к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично, получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники 
и подобны, 
. Пусть 
тогда
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции 
равна 
.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к 
перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
:
.
Тогда
.
Следовательно, 
, откуда 
и 
Ответ: 3,2.
Задача 1.
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основаниям.
Из точки 
на сторону 
опустили перпендикуляр 
. На стороне отмечена точка 
так, что прямые и 
перпендикулярны.
|
|
|
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение к , если 
.
Решение.
а) Поскольку
 ,
около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1).
Значит,
 ,
то есть прямые и параллельны.
| 
|
б) Опустим из точки  перпендикуляр на прямую (рис. 2). Стороны  и треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны и  , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку
| 
|
коэффициент подобия равен 
. Значит,
.
Ответ: б) 
.
Задача 2.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике 
на продолжение боковой стороны 
опущена высота 
. Из точки 
на сторону и основание 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
а) Докажите, что отрезки 
и 
равны.
б) Найдите , если 
, 
.
Решение.
а) Поскольку  , около четырёхугольника  можно описать окружность с диаметром . Получаем:
 ,
поэтому  как хорды, стягивающие равные дуги.
| 
|
б) В прямоугольных треугольниках 
и 
имеем:
.
Поскольку 
, получаем:
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
|
|
|
Задача 3.
В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту 
треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 
. Отрезок 
— диаметр этой окружности.
а) Докажите, что 
.
б) Найдите 
, если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, 
, 
.
Решение.
|
а) Поскольку — диаметр описанной около треугольника окружности, получаем
.
Следовательно, хорды 
и 
стягивают равные дуги, а значит, они равны.
б) Пусть 
— радиус окружности, описанной около треугольника . Имеем:
,
;
.
Следовательно, по теореме синусов
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 66; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!