Основные характеристики звезд 10 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 16Следующая ⇒

Чтобы убедиться в этом, вычислим стоящий слева интеграл. Полагая

легко находим, что

Так как время отсчитывается от момента сближения точки с притягивающим центром, то мы заключаем, что

Формулы (1) и (2) задают закон движения, т.е. зависимость x от в параметрической форме.

Непосредственно для решения задачи закон движения нам не нужен -- достаточно найти, за какое время точка проходит ту половину отрезка, где она движется быстро. Полагая в (1) и (2) , находим, что при x=1/2 значение равно

Безразмерное время, которое займет полет ракеты, есть время полного оборота, равное , уменьшенное на , что равно . Это составляет полного времени движения по орбите.

Итак, полет ракеты займет время, равное

Поэтому ракету можно запускать в . Однако опытный командир нашей подлодки поступит не так. Он отдаст команду "Пуск!" в , чтобы поразить вражескую субмарину примерно посередине времени ее предполагаемого пребывания на поверхности. В самом деле, "они" ведь могут либо чуть запоздать, либо почему-то чуть раньше уйти под лед. Вот он, тот самый здравый смысл, о котором мы говорили в самом начале в наших методических заметках.

Казалось бы, все сделано, задача решена, ответ найден. Несколько комментариев будут, однако, далеко не лишними. Первое замечание совсем простое. Кривая, изображающая полученную выше зависимость x от -- это обычная циклоида. Второе замечание мелкое, но методически полезное. Почему мы положили , а не сделали более "естественную" рационализирующую подстановку , в которой всегда фигурируют половинные углы? Причин две. Во-первых, такова историческая традиция. Во-вторых, поскольку полученные формулы используются для вычислений по схеме: "Задаем E. По нему вычисляем x и ", то при использовании нашей подстановки требуется на одно умножение меньше -- хоть небольшая, но все же экономия. Когда компьютеров еще не было, с этим нельзя было не считаться. Однако и сегодня вычисления следует организовывать так, чтобы по возможности минимизировать число умножений.

6. Земля, Луна и планеты

6.1 В подсолнечной точке темп притока энергии равен , где -- альбедо Луны, эрг/(см²c) -- солнечная постоянная. Отток энергии происходит за счет излучения нагретого поверхностного слоя почвы (в ИК-диапазоне), темп которого равен , где -- постоянная Стефана (индекс s у -- от surface, т.е. поверхность). Приравнивая темпы нагрева и охлаждения, получаем

откуда K, или 115^o по Цельсию, так что босиком не походишь -- обожжешь ступни. Эта оценка слегка завышена. Она была бы строго верна, если бы Луна всегда была обращена одной стороной к Солнцу (а не к Земле). Однако так как вращение Луны вокруг оси происходит медленно, ошибка должна быть невелика.

6.2 Будут очень-очень сильно мерзнуть ноги. Из-за различия в альбедо отношение абсолютных температур на месте, залитом краской, и на соседнем лунном грунте будет близко к (см. формулу в решении задачи ). Если у обычного лунного грунта (альбедо A=0.07) в подсолнечной точке температура равна 388 K (см. предыдущую задачу), то в луже краски она будет K, или по Цельсию -- жуткий мороз! (А железный лист в условии задачи зачем понадобился, как вы думаете?)

6.3 На единицу поверхности планеты в "подсолнечной" точке падает поток , где -- радиус звезды, а d -- расстояние от нее до планеты. Из этого потока доля 1-A, поглощаемая поверхностью планеты, идет на ее нагрев. Приравнивая скорости притока и оттока тепла в "подсолнечной" точке, получаем

откуда для температуры в "подсолнечной" точке находим

Значение d найдем, приравнивая центробежную силу к силе притяжения планеты к звезде, что дает

где P -- период обращения планеты. Эрудиты, помнящие наизусть третий закон Кеплера, точнее, коэффициент пропорциональности в соотношении , могли бы написать это сразу.

Подставляя это выражение для d через P в формулу для , получаем

Единственный параметр звезды, помимо ее температуры, который входит в эту формулу, это ее средняя плотность .

По условию задачи, температура на планете должна быть такой же, как на Луне. Последняя, очевидно, также дается полученным только что выражением, в котором следует положить и , а P взять равным 1 году. Приравнивая температуры на планете и на Луне, для периода обращения планеты в годах получаем следующее простое выражение:

Подставив числа, найдем, что, например, для звезды класса A0 K, период составляет около 10 лет.

Далее, так как величина падающего потока пропорциональна косинусу зенитного расстояния звезды z, то зависимость температуры на поверхности лишенной атмосферы планеты от z имеет вид

Выражение для P, полученное выше, позволяет немного пофантазировать о жизни на других мирах. Очевидно, что оно дает продолжительность года на планете с тем же температурным режимом, что и у Земли, которая обращается вокруг звезды с известной температурой и средней плотностью. Данные о и для звезд разных спектральных классов можно найти у Аллена [1]. Оказывается, например, что если бы Земля обращалась не вокруг Солнца, а вокруг звезды класса M5V ( , K), то чтобы на ней можно было сносно жить -- не замерзнуть и не изжариться -- продолжительность года должна была бы составлять всего земных суток. Впадать в долгую зимнюю спячку медведям не удалось бы!

6.4 Для ионизации атома водорода требуется энергия эВ. Поэтому число атомов водорода , которое может быть ионизовано за счет кинетической энергии движения Земли, равно

где v=30 км/с -- скорость движения Земли, M -- ее масса. Далее, число атомов водорода в газовом облаке с массой M равно , где -- масса протона. Подставляя известные числовые значения физических величин, находим отношение

которое оказывается хотя и порядка, но все же меньше единицы. Таким образом, кинетической энергии движения Земли по орбите не достаточно, чтобы ионизовать облако водорода с массой, равной массе Земли.

Дадим другой вариант решения. Как показывается в задаче , нуклон, движущийся со скоростью 1500 км/с, имеет энергию около 10кэВ. При скорости движения в 30 км/с кинетическая энергия нуклона будет в раз меньше, или около 4эВ, что составляет 0.3 от энергии связи атома водорода (13.6эВ). Отсюда непосредственно следует, в согласии с полученным выше, что кинетической энергии движения Земли хватит на ионизацию массы водорода, составляющей 0.3 ее собственной массы.

Кинетическая энергия протона равна 1 эВ, если он движется со скоростью км/с.

6.5 Один способ решения см. во вводных замечаниях к задачнику. А вот другое решение. Всякий знает, что атмосферное давление составляет г/см². Поэтому масса столба воздуха сечением 1 см² равна г. Умножив это на площадь поверхности Земли, получим искомую массу атмосферы. Осталось поделить результат на массу Земли.

К сожалению, при таком решении приходится делать несколько не очень приятных умножений, а в конце еще и деление. Можно дать и такое решение, в котором вычисления сведены к минимуму. Вес вертикального столба воздуха равен весу столба воды высотой 10 м -- надеемся, вы это знаете. Плотность воды 1 г/см³, а средняя плотность Земли -- 5.5 г/см³. Поэтому воздух давит так же, как и слой вещества плотностью 5.5 г/см³, имеющий толщину м. Далее, из формулы

следует, что

Отсюда в уме находим, что при м будет .

6.6 Точность "параллельного приближения" -- угловой диаметр Солнца, . А описанная картина объясняется так же, как и кажущаяся сходимость параллельных рельсов или расходимость траекторий метеоров из радианта -- явлением перспективы.

6.7 Высота однородной атмосферы Земли равна примерно 8 км. Это означает, что плотность воздуха убывает с высотой по закону (так называемая барометрическая формула; кстати, как вы думаете, почему она так называется?)

где h -- высота в км. Плотность воздуха падает в пять раз на высоте около 13 км (проверьте!). Поэтому, если масса атмосферы уменьшится впятеро, цвет неба станет темно-синим, примерно таким, как из окна пассажирского воздушного лайнера после набора высоты.

Если же масса атмосферы возрастет в 5 раз, то небо днем станет желтовато-оранжевым. Дело в том, что по закону Рэлея оптическая толщина атмосферы обратно пропорциональна . Для синих лучей она окажется больше единицы, и это излучение будет сильно ослаблено. Восход и закат Солнца едва ли будут видны -- при приближении к горизонту диск Солнца будет постепенно становиться все менее ярким, и еще до достижения горизонта он скорее всего перестанет быть виден. Ночью звезд на небе будет совсем мало, и они будут красновато-желтыми. Вблизи горизонта, на зенитных расстояниях , их вовсе не будет видно, так как оптическая толщина по лучу зрения будет .

6.8 Очевидно, что максимум яркости неба достигается при оптической толщине атмосферы порядка единицы. Действительно, если , то чем меньше , тем большая доля фотонов проходит сквозь атмосферу не рассеиваясь и, следовательно, не дает вклада в яркость неба. Поэтому при малых яркость неба растет с . А при с ростом быстро увеличивается доля фотонов, которые, испытав многократные рассеяния в атмосфере, отражаются ею обратно в космическое пространство и не доходят до поверхности Земли. Здесь с ростом яркость неба должна убывать. Однако точный расчет того , при котором для заданного зенитного расстояния Солнца падающий на поверхность Земли поток рассеянного атмосферой излучения максимален -- это очень непростая задача. Во всяком случае, авторам не только неизвестен ответ, но неизвестно даже, где его можно найти в литературе!

6.9 Химический состав солнечной атмосферы определяется по интенсивностям фраунгоферовых линий. При прохождении сквозь слой облаков солнечное излучение испытывает многократные рассеяния, в ходе которых информация о первоначальном направлении его распространения полностью замывается. Поэтому, когда небо затянуто тяжелыми тучами, сказать, где находится Солнце, нельзя. Однако спектральный состав излучения, прошедшего сквозь облака, почти не меняется. В частности, интенсивности фраунгоферовых линий (по отношению к соседнему континууму) те же, что и в ясный день. Правда, из-за рассеяний на частицах облаков -- водяных каплях или снежинках -- траектория луча становится ломаной линией, и в результате оптический путь вдоль луча увеличивается. Интенсивность теллурических линий будет поэтому увеличена. Однако если наш дисциплинированный астроном будет наблюдать достаточно долго, он сумеет отделить теллурические линии от фраунгоферовых. Из-за изменения высоты Солнца теллурические линии будут со временем менять свою интенсивность, фраунгоферовы же -- нет. Итак, даже когда Солнца из-за облаков не видно, химический состав его атмосферы можно определить!

Главное, что мы хотели подчеркнуть: при многократных рассеяниях замывается не вся информация. Это важно, так как указывает на принципиальную возможность извлечения из приходящего от звезд и планет излучения сведений о тех слоях их атмосфер, которые непосредственно не видны. "Кухня" этого далеко не проста, и говорить о ней здесь было бы неуместно.

6.10 Кажется почти очевидным, что при наблюдении с горы Солнце будет ярче -- но это неверно. Из рисунка понятно, что для наблюдателя A, находящегося на уровне моря, ослабление солнечного излучения атмосферой будет меньше, чем для наблюдателя B, стоящего на горе. Приводимый ниже расчет показывает, что разница в яркости будет весьма ощутимой: на (максимум чувствительности глаза) различие будет по меньшей мере 20-кратным.

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!