Основные характеристики звезд 11 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 16Следующая ⇒

Сначала дадим грубую оценку, которую потом уточним. Будем считать атмосферу однородным сферическим слоем толщиной h = 8 км. Тогда для наблюдателя, находящегося в точке A (на уровне моря), длину пути l горизонтального луча в атмосфере можно определить по теореме Пифагора (см. рис.):

где R -- радиус Земли. Отсюда

На первый взгляд это число представляется неожиданно большим -- но вспомните, что Земля кажется нам плоской даже с высокой горы. Из полученной оценки следует, что на восходе и на закате Солнце вполне могут скрывать тучи, находящиеся от нас в паре сотен километров. Мало кто это знает.

Аналогичным образом нетрудно найти, что дополнительный путь , который солнечные лучи проходят в атмосфере при наблюдении восхода с горы высотой , составляет

При км мы имеем , так что

Оптическая толщина безоблачной атмосферы по нормали на длине волны 5500 составляет (в действительности даже несколько больше, см. ниже). По касательной, как мы только что убедились, она должна быть в 40 раз больше, т.е. . Поэтому в момент восхода солнечное излучение на ослабляется атмосферой в раз (или на звездных величины). На пути от A до B луч ослабляется дополнительно в раз, так что диск Солнца при наблюдении восхода с высокой горы оказывается гораздо менее ярким, чем с корабля.

Полученное только что число 17 -- не более чем оценка, к тому же довольно грубая. Действительно, значение оптической толщины атмосферы по нормали, которое мы использовали (0.1), относится к чисто молекулярной атмосфере. Однако в атмосфере происходит также рассеяние солнечного излучения на частицах аэрозоля, так что действительная оптическая толщина несколько больше, причем она колеблется ото дня ко дню. Очень существенно, что для нахождения стоящей в показателе экспоненты оптической толщины атмосферы вдоль горизонтально идущего луча мы должны вертикальную оптическую толщину умножить на большое число (40). Поэтому даже незначительное отличие в принятом значении оптической толщины атмосферы по нормали ведет к большому отличию в яркости Солнца в момент восхода. Так, если бы оптическую толщину по нормали мы приняли бы равной не 0.10, а 0.13, то нашли бы, что солнечные лучи на ослабляются при наблюдении восхода и заката с уровня моря в раз. При наблюдении с горы высотой км яркость диска Солнца в момент восхода уменьшалась бы дополнительно в раз. Как видим, полученные выше оценки, относящиеся к чисто газовой атмосфере, вполне могут давать яркость Солнца в момент восхода с ошибкой в несколько раз.

По сравнению с этим поправка, вызванная учетом неоднородности атмосферы, малосущественна ( % в горизонтальной оптической толщине). Можно считать, что плотность в атмосфере меняется с высотой h по барометрическому закону

где H -- параметр (так называемая шкала высот), -- плотность воздуха на уровне моря. Рассмотрим сначала случай наблюдения из точки A, т.е. с уровня моря. Тогда воздушная масса на горизонтальном луче оказывается равной

Масса же на вертикальном луче равна, очевидно,

Отношение этих двух воздушных масс дает отношение оптических толщин атмосферы по горизонтали и по вертикали:

что отличается от результата, полученного в предположении однородности атмосферы, на множитель . Его отличие от единицы нужно было бы учитывать, если бы оптическая толщина атмосферы по нормали была бы известна с точностью %, чего из-за переменной запыленности воздуха на самом деле нет.

Убедитесь самостоятельно, что дополнительный оптический путь луча от A к B составляет долю

где

от оптического пути вдоль луча AS. Появившийся здесь интеграл

называется функцией ошибок, или интегралом вероятностей. Он не выражается через элементарные функции. Его таблицы есть в любом курсе теории вероятностей, однако не спешите их доставать. В нашем случае оценить значение этого интеграла не составляет труда. Мы имеем км = H/2, так что . Разлагая экспоненту в ряд и интегрируя затем этот ряд почленно, находим, что

откуда получаем, что . Это очень близко к числу , полученному нами ранее для отношения воздушных масс на пути AB и на луче AS в предположении, что атмосфера однородна.

Еще один эффект, влияние которого в принципе нужно было бы учитывать, -- это рефракция. Ограничиваясь качественной стороной дела, можно утверждать, что влияние рефракции будет делать Солнце для "горного" наблюдателя еще менее ярким, чем для "морского" (поймите, почему).

Вот иная формулировка наших основных результатов. По условию задачи Солнце наблюдается на видимом горизонте, а не на математическом. Для "горного" наблюдателя понижение горизонта составляет всего около (покажите это, вычислив угол ), однако это приводит к тому, что солнечные лучи проходят дополнительный путь км, что увеличивает массу и оптическую толщину столба воздуха на их пути почти на 70% и делает Солнце значительно менее ярким (экспонента -- это не линейная функция!). Но когда восходящее Солнце достигнет математического горизонта, оно будет уже в раза более ярким, чем в случае его наблюдения на горизонте с уровня моря. Убедитесь в этом самостоятельно.

Побочным результатом проведенного в этой задаче обсуждения служит следующее неожиданное на первый взгляд утверждение: ни один космонавт не мог видеть простым глазом ни одной звезды в момент ее выхода из-за края Земли!

6.11 Интенсивность прямого излучения Солнца у горизонта при сделанных допущениях есть , где -- оптическая толщина атмосферы вдоль горизонтального луча. При молекулярном рассеянии (закон Рэлея). Положим

где -- горизонтальная оптическая толщина атмосферы на длине волны . При , как было показано в задаче , .

Обозначим искомую длину волны максимума в распределении энергии у закатного Солнца через . Она определяется очевидным условием

из которого все и следует. К сожалению, вычислений не избежать. Воспользуемся этим случаем, чтобы поучиться делать их культурно.

Возьмем функцию Планка в приближении Вина (в задаче мы убедимся, что делать это можно):

Тогда получаем следующее уравнение для нахождения :

или

откуда в приближении Вина

Но, с другой стороны, в приближении Вина длина волны , на которой лежит максимум , так что

определяется условием

Поэтому, обозначив

мы можем переписать полученное выше уравнение, определяющее , в виде

или, поскольку ,

Ясно, что x < 1, иначе Солнце у горизонта не было бы красным. Однако без вычислений не обойтись. Сначала получим грубую оценку корня, линеаризовав уравнение с помощью разложения

справедливого при малых x. В этом приближении найдем, что x=0.62. Какова точность этого приближения, пока неясно. Поскольку x не очень мало, второй знак едва ли верен. Уточнить значение корня можно итерациями, организованными по схеме

В качестве начального приближения возьмем . Тогда получим (калькулятор понадобится буквально на одну минуту!) . Стоп. Ясно, что с точностью до двух значащих цифр x=0.59, а потому 1/x=1.70. Вспоминая определение x, для искомой длины волны максимума в распределении энергии в спектре закатного Солнца находим

Последнее, что осталось сделать, -- показать применимость приближения Вина. Поскольку

то , и в области приближение Вина все еще применимо (погрешность ).

Звездные величины

7.1 Прежде всего заметим, что оборот "во сколько раз они слабее" -- это общепринятый жаргон вместо более точного "во сколько раз освещенность от них меньше".

Невооруженным глазом можно видеть звезды до 6-й звездной величины, которые на 22 величины ярче самых слабых звезд, доступных наблюдениям на

телескопах Кека. [Кстати, на

космическом телескопе им. Хаббла с зеркалом в 2.4 м зарегистрированы объекты

. Это потребовало огромных экспозиций. "Обычная" проницающая сила этого телескопа -- 28 ^m].

По определению звездных величин, разности в 5 величин соответствует отношение освещенностей в 100 раз. Поэтому разности в 22 = 5^.4+2 величины соответствует отношение освещенностей . Самые слабые из зарегистрированных к настоящему времени объектов -- звезд и галактик -- почти в миллиард раз слабее звезд, едва различимых невооруженным глазом!

Отношение площадей зеркала телескопа Кека (D=10 ³ см) и зрачка человеческого глаза (D=0.5 см) составляет 4^.10 ⁶. Как вы думаете, чем объясняется, что полученное выше отношение предельно малых освещенностей, регистрируемых телескопом Кека и глазом, существенно больше отношения их входных зрачков?

7.2 Разности звездных величин Миры Кита в максимуме и в минимуме блеска соответствует отношение освещенностей, а потому и светимостей в видимом диапазоне, равное .

Однако так как Мира Кита -- холодная красная звезда, большую часть энергии она излучает в ИК-области, и изменения ее интегрального потока гораздо меньше (почему? Указание: см. задачу ). Поэтому болометрическая светимость меняется существенно меньше, чем визуальная.

7.3 Разности в 2.5 звездной величины соответствует отношение освещенностей, равное 10. Но освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до светила. Так как светимости звезд по условию одинаковы, то одна из них находится в раз дальше другой. [Старомодное слово "светило", использованное в решении задачи, подходит как нельзя лучше. Если тело светится за счет отражения излучения источника, находящегося в месте наблюдения, а не является "истинным светилом", то освещенность от него убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния; см. решения задач и ].

7.4

В настоящее время Плутон находится на расстоянии 30 а.е. от Солнца. Следовательно, освещенность от Солнца на Плутоне в 30 ² = 900 раз меньше,чем на Земле. Такому отношению освещенностей соответствует разность звездных величин

. Так как на Земле видимая звездная величина Солнца равна

, то на Плутоне она будет

. Это на 6.6 величины меньше, чем видимая звездная величина Луны на Земле

. Таким образом, на Плутоне днем более чем в 250 раз светлее, чем в полнолуние на Земле.

7.5 Радиус каждого из миллиона спутников будет в 100 раз меньше радиуса Луны, а площадь поверхности -- в 10000 раз меньше поверхности Луны, так что суммарная поверхность миллиона спутников будет в 100 раз больше поверхности Луны. Следовательно, рой микроспутников будет светить в 100 раз ярче, чем Луна. Отношению освещенностей 1:100 соответствует разность блеска ровно в 5 звездных величин. Поэтому искомая звездная величина m = -12.7-5.0 = -17.7 ^m.

7.6 Главное при решении этой задачи -- не поддаться искушению сложить звездные величины компонент. Следует помнить, что звездные величины имеют не линейную, а логарифмическую шкалу. Обозначим через и светимости и звездные величины 1-й и 2-й звезды соответственно, а через m -- их суммарную звездную величину. Тогда имеем

и

Мы вправе использовать отношения светимостей звезд вместо отношений освещенностей от них, так как обе компоненты двойной находятся на одном и том же расстоянии от Земли. Из первого равенства находим отношение

и, подставляя его во второе соотношение, получаем

По условию задачи мы имеем , . Поэтому .

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!