Массачусетский технологический институт, февраль 1967 г. 4 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 21Следующая ⇒

Оказывается необходимым ввести некоторые упрощения. Количество возможных аппроксимаций столь велико, что выбрать наиболее подходящую из них можно только на основании анализа результатов наблюдений. Отсутствие достаточно глубоких знаний о происходящих в атмосфере процессах приводит порой к таким нелепостям, как попытки изучать атмосферную циркуляцию, исходя из уравнений для безвихревого потока.

В этой главе мы приведем в начале в достаточно точной форме систему основных уравнений, затем введем некоторые наиболее употребительные аппроксимации. В последние годы в большинстве попыток объяснить процессы циркуляции исходят из систем приближенных уравнений. В следующей главе будет дана картина циркуляции атмосферы в том виде, в каком она известна нам по наблюдениям. Однако некоторые характерные особенности циркуляции, известные нам из наблюдений, необходимо рассмотреть уже в данной главе. В то же время некоторые из уравнений будут приведены позднее. Читатель, хорошо знакомый с уравнениями динамики или желающий опустить математическую сторону вопроса, может сразу перейти к чтению следующей главы.

Точные уравнения

Удобно выделить две категории среди основных законов, действующих в атмосфере. К первой из них относятся фундаментальные законы гидро- и термодинамики, применимые ко всем или, во всяком случае, к широкому классу жидких систем. Эта группа законов включает в себя закон сохранения массы, второй закон движения Ньютона и первый закон термодинамики. Указанные законы устанавливают соответственно, что вещество не может исчезнуть или возникнуть, изменение импульса вызывается только приложенными силами, и изменение внутренней энергии замкнутой системы обусловливается притоком тепла и совершением механической работы. Уравнение состояния идеального газа относится также к этой категории законов, хотя и является менее общим, чем остальные. На больших глубинах в атмосфере Юпитера, где плотность сравнима с плотностью жидкости, уравнение состояния идеального газа, вероятно, несправедливо так же, как и на очень больших высотах в атмосфере Земли.

Оставшиеся нерассмотренными законы необходимы нам для того, чтобы выразить действующие силы и приток тепла через характеристики состояния атмосферы и окружающей ее среды. В эту группу входят законы, описывающие процессы поглощения, отражения и рассеяния солнечной радиации, а также поглощения, излучения и переноса длинноволновой радиации различными веществами, входящими в состав атмосферы, в основном углекислым газом, озоном и водой, находящейся в разных фазовых состояниях. Сюда же относятся законы турбулентной вязкости и теплопроводности, описывающие процессы турбулентного переноса импульса и тепла. В принципе эти законы могут быть выведены из основных законов гидро- и термодинамики, но пока еще, ни одна подобная задача успешно не была доведена до конца. Наконец, рассматриваемая категория включает законы, описывающие испарение и конденсацию водяного пара, а также процессы образования осадков в виде дождя и снега. Это перечисление, однако, ни в коей мере не является исчерпывающим.

Уравнения, выражающие основные законы, можно записать в векторной форме. При этом здесь и далее будут использованы следующие обозначения.

Составленный в алфавитном порядке список условных обозначений приводится в приложении. В основном — это стандартные обозначения, часто применяемые в метеорологической практике. Иногда приходилось выбирать какое-либо одно из нескольких обычно используемых обозначений; в то же время было введено и несколько менее привычных символов, чтобы не употреблять одно и то же обозначение для двух различных величин.

Приток тепла за единицу времени обозначен символом Q, а не dQ / dt , иногда используемым в термодинамике, так как при введении последнего появляется тенденция предполагать, что существует некоторое количество тепла, производная от которого по времени описывает величину притока тепла.

Основные законы гидро- и термодинамики могут быть выражены с помощью уравнений:

или с помощью уравнений, записанных в другой форме, но, по существу, в точности эквивалентных приведенным. Символом d / dt в уравнениях (1) —(4) обозначена индивидуальная производная по времени, характеризующая скорость изменения в точке, движущейся вместе с потоком.

Уравнение движения (1) и уравнение неразрывности (2) представляют собой формулировку второго закона движения Ньютона и закона сохранения массы. В приведенной форме они применимы к изучению как газообразных, так и жидких систем. Уравнение движения записано в системе координат, вращающейся с угловой скоростью Ω. Истинное ускорение — вектор абсолютного ускорения — отличается от кажущегося (относительного) ускорения dV / dt на сумму величин ускорения силы Кориолиса 2ΩV и центростремительного ускорения Ω(Ωг). Следовательно, вращение системы координат полностью учитывается введением силы Кориолиса 2ΩV и кажущейся силы тяжести g, которая отличается от истинной силы тяжести на величину Ω(Ωг). Лишь это и отличает уравнения, записанные относительно вращающейся и неподвижной систем координат. Учитывая описанным выше способом вращение Земли, можно полагать в большинстве задач (за исключением топографических расчетов), что Земля имеет форму сферы, а не эллипсоида вращения, где сила тяжести постоянна по величине и направлена к центру сферы, так как в пределах нижних 25 км атмосферы максимальный угол между направлениями g и г составляет около 0,2°, а величина g изменяется лишь немногим более чем на 1%. Уравнение (3) представляет собой выражение первого закона термодинамики, а формула (5) — уравнение состояния. В приведенной форме эти уравнения применимы лишь к идеальному газу. Их необходимо несколько видоизменить, чтобы сделать пригодными для описания атмосферной циркуляции, где могут иметь место процессы фазовых переходов влаги или изменения содержания водяного пара.

При выводе уравнения (3) мы учли, что внутренняя энергия единицы массы равна c_vT и использовали обычное допущение о том, что работа сил сжатия, отнесенная к единице массы, выражается как —pda / dt . Немного позже мы обсудим, насколько применимо это допущение. Затем, используя уравнения (2) и (5), представили работу выражением —RT ∆ V и получили уравнение (3). Уравнение (4) может быть получено из (2) и (3) с помощью (5). Часто бывает удобнее использовать в качестве искомой функции плотность ρ, обратную величине а.

Уравнения (1) — (4) выражают производные по времени от зависимых переменных через их текущие значения, т. е. являются прогностическими уравнениями. Уравнение (5) —диагностическое, так как не содержит производных по времени. Диагностическое уравнение может быть использовано для того, чтобы исключить какие-либо две из трех переменных а, Т, р из системы уравнений (1) — (4). В любом случае система содержит одно векторное и два скалярных уравнения или, что эквивалентно, пять скалярных уравнений для пяти зависимых переменных. Если результирующую силу трения F и приток тепла Q представить в виде известных функций от независимых переменных и искомых функций, рассматриваемая система уравнений станет замкнутой, т. е. позволит определять значения зависимых переменных на следующем шаге по времени по их значениям в данный момент времени.

Часто для практического использования удобно представить уравнение (1) в скалярной форме. Применение сферической системы координат оправдывается тем обстоятельством, что Земля в достаточной мере приближается по форме к сфере. При этом используются следующие обозначения.

Компоненты скорости и, v , w равны скалярным произведениям вектора V на орты i, j, k. Единичные векторы можно представить соответственно как i= (Ωr)/ |Ωr |, j = ki и k=r/r.

Вследствие криволинейности сферической системы координат компоненты ускорения dV/dt не являются производными по времени от компонент скорости V. Появляются некоторые дополнительные члены, включающие производные по времени от ортов i, j, k.

Константа p₀₀=1000 мб вводится для того, чтобы сделать Θ н Т величинами одной размерности. Из уравнений (3) и (4) следует:

Используя (15), можно выяснить сущность допущений, которые делаются при обычной формулировке основных уравнений гидро- и термодинамики.

Согласно (15), изменение энтропии равно отношению притока тепла к температуре. Это является одним из основных принципов термодинамики. Этот принцип действует в течение всего обратимого процесса, но он вовсе не обязателен для необратимого процесса. Однако уравнение (15) было получено из (3) и, в конечном счете, из первого закона термодинамики, который справедлив как для обратимых, так и для необратимых процессов.

Энтропия атмосферы как замкнутой системы должна возрастать в ходе любого необратимого процесса. Поэтому необходимо сделать допущение, что любые необратимые процессы включают в себя приток энергии и что ни один из этих процессов не может сводиться лишь к выполнению работы. Это допущение было сделано при выводе уравнения (3), когда мы полагали, что работу всегда можно представить выражением — p da / dt . Для того чтобы, несмотря на сделанные допущения, уравнение (3) осталось справедливым, мы должны в том случае, если состояние атмосферы изменяется за счет некоторого необратимого процесса, определять Q как приток тепла, который имел бы место при обратимом процессе, изменяющем состояние атмосферы аналогичным образом.

Одним из наиболее важных необратимых процессов, совершающихся в атмосфере, является перемешивание различных масс воздуха. Для удобства мы можем рассматривать различные процессы перемешивания воздушных масс, имеющих разную температуру, т. е. турбулентную теплопроводность и перемешивание масс воздуха, обладающих различной скоростью, т. е. турбулентное трение. В первом из этих процессов, для того чтобы осуществлялось перемешивание воздушных масс, также Должно иметь место некоторое различие в скоростях. Однако можно считать, что это различие пренебрежимо мало.

Суммарная работа, производимая при перемешивании масс воздуха в первом процессе, по существу, равна нулю. Отсутствует также суммарное увеличение внутренней энергии и, следовательно, отсутствует приток тепла. Однако уравнение (3) остается справедливым при допущении, что первоначально более холодный воздух нагревается до своей новой температуры за счет притока тепла от более теплого воздуха, а более теплая вначале воздушная масса в той же степени подвергается выхолаживанию. Аналогичным образом можно трактовать обмен энергией за счет излучения.

При втором процессе суммарная кинетическая энергия уменьшается. Так как полная энергия остается неизменной, то внутренняя энергия увеличивается на ту же величину. (Мы можем пренебречь здесь влиянием силы тяжести, чтобы не вводить в рассмотрение потенциальную энергию.) Можно было бы допустить, что увеличение внутренней энергии полностью определяется произведенной работой, причем работа представлена членом —p da / dt , как в уравнении (3). В этом случае отсутствовал бы приток тепла. Если учесть также уравнение (15), очевидно, должно было бы полностью отсутствовать изменение энтропии. Таким образом, принятое допущение привело бы к абсурдному выводу о том, что перемешивание является обратимым процессом.

Следовательно, если оставить в силе оба уравнения (3) и (15), следует принять, что система получает за счет притока тепла количество внутренней энергии, эквивалентное потерянному ею количеству кинетической энергии. Величина этого притока тепла, обусловливаемого процессами трения, должна входить в член Q, чтобы уравнение (3) имело смысл.

Уравнений (1) — (11) вместе с соответствующими выражениями для F и Q в принципе достаточно для математического' исследования процессов циркуляции. Часто при качественном рассмотрении удобно оперировать терминами: момент количества движения и энергия. Абсолютный момент количества движения на единицу массы относительно оси вращения Земли определяется выражением

Первый член в правой части выражения (16) представляет собой, так называемый Ω-момент, или абсолютный момент количества движения, который имел бы место в случае вращения атмосферы как твердого тела вместе с Землей. Второй член — это относительный момент количества движения, связанный с движением относительно Земли. В уравнении (6) члены, содержащие множитель 1/г и зависящие от кривизны системы координат, а также члены, содержащие множитель Ω и связанные с вращением, пропадают при переходе к уравнению для момента количества движения

Из этого уравнения следует, что абсолютный момент количества движения изменяется лишь за счет момента сил. Это эквивалентно утверждению, что изменения относительного момента количества движения обусловлены полностью моментом сил при условии, что учтен момент силы Кориолиса. Уравнение (17), конечно, могло бы быть использовано при выводе уравнения (6).

Кинетическая, потенциальная и внутренняя энергия на единицу массы для некоторого идеального газа могут быть определены как

Проинтегрировав это уравнение по некоторой области с фиксированной границей, найдем, что член —α∆ • pV выражает работу, производимую силами давления на границе этой области. Таким образом, этот член описывает перенос энергии из одной области в другую.

Понятия момента количества движения и энергии лежат в основе любого описания циркуляции. Если для какой-либо, приближенной формы записи уравнений законы сохранения; энергии и импульса нарушаются, то, вероятно, должны быть получены и отличные от реальных результаты. Наличие фиктивного источника энергии, например, может привести к неограниченному росту скорости ветра.

Обычно используемая аналитическая запись процессов трения и притока тепла гораздо менее точна, чем формулировка процессов, которые мы до сих пор рассматривали. По-видимому, процессы трения приводят главным образом к переносу горизонтальной компоненты импульса в вертикальном направлении, так что хорошим приближением является выражение

где τ — горизонтальный вектор напряжения трения, оказываемого воздухом, находящимся выше данного уровня, на нижележащий слой. Напряжение трения часто связывают с вертикальным сдвигом скорости ветра с помощью коэффициента турбулентной вязкости μ, следующим образом:

где U означает горизонтальную компоненту скорости ui + vj , отличную от полной скорости V. Величина μ должна была бы выбираться в зависимости от интенсивности турбулентности, но для идеализированной атмосферы часто берется ее постоянное значение.

Аналогично для идеализированной атмосферы величина Q может быть принята равной разности между некоторой функцией только широты и высоты, характеризующей приходящую радиацию, и функцией только температуры, представляющей уходящую радиацию. Для реальной атмосферы нужно еще рассматривать уравнения, описывающие радиационные процессы, турбулентность, фазовые переходы влаги и др. Рассмотрение всех этих уравнений выходит, однако, за рамки данного исследования. Тем не менее, ниже будет указано, каким образом можно преобразовать уравнения (1) — (5), чтобы учесть присутствие в реальной атмосфере воды.

Уравнения движения (1) — (2), по-видимому, при этом фактически останутся неизмененными. В уравнении состояния (5) значение газовой постоянной R сухого воздуха должно быть заменено значением несколько более изменчивой газовой постоянной смеси сухого воздуха и водяного пара. Или, альтернативно, значение температуры Т должно быть заменено значением виртуальной температуры

которая несколько выше обычной температуры воздуха, здесь R_w — газовая постоянная водяного пара, q — удельная влажность. Для большей части атмосферы Т_v, отличается от Т менее, чем на градус. Однако у поверхности земли в тропиках виртуальная поправка может превышать 4° С.

Учет присутствия водяного пара более существенно сказывается в уравнении переноса энергии (3) и в полученном путем преобразования его уравнении (4). Рассматривавшаяся выше внутренняя энергия должна быть заменена внутренней энергией влажного воздуха.

где с — удельная теплоемкость водяного пара, L — скрытая теплота конденсации при температуре Т.

Альтернативно реализацию скрытой теплоты при конденсации пара можно приближенно представить выражением Ldq / dt и рассматривать как часть притока тепла Q. В любом случае появляется новая независимая переменная q .

Обычно задачу упрощают, полагая, что образовавшаяся в процессе конденсации жидкая вода немедленно выпадает в виде осадков. Тогда можно считать, что q остается постоянной везде, кроме областей, связанных с подъемом насыщенного воздуха, где q сохраняет значение насыщающей влажности, и вблизи земной поверхности, где значение q может возрастать за счет турбулентной диффузии. Таким образом,

где Е — восходящий турбулентный поток через единичную горизонтальную площадку, q_s ( T , р) — значение насыщающей влажности для температуры Т и давления р; Е₀ (предельное значение Епри приближении к земной поверхности) определяется просто как скорость испарения с поверхности.

Представляется более реальным сохранить жидкую компоненту влагосодержания в качестве другой искомой переменной; в этом случае q сохраняло бы насыщающее значение и в опускающемся воздухе, содержащем жидкую фазу. Если же рассматривать в качестве еще одной зависимой переменной содержащуюся в воздухе твердую фазу, то следует учитывать возможность появления облаков, содержащих переохлажденную воду (а не только облаков, состоящих из ледяных кристаллов).

Уравнения статики и примитивные уравнения

Уравнения (1) — (5)—так называемые точные уравнения, хотя совершенно очевидно, что при их выводе был сделан ряд допущений. Однако в некотором смысле они даже слишком точны. Исследование показывает, что они обладают свойствами, которые затрудняют их применение для изучения глобальной циркуляции.

Одной из наиболее ярко выраженных особенностей циркуляции является гидростатическое равновесие — приближенный баланс между силой тяжести и силой вертикального градиента давления. Общеизвестное уравнение гидростатики

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!