Неравенства, система неравенств. Выпуклые множества и их свойства.
12.3.. Элементы теории матриц
1) Понятие матрицы. Строки и столбцы матрицы. Обозначения матриц и их
элементов.
2) Частные случаи матриц : вектор-строки и вектор-столбцы, квадратные
матрицы, верхняя и нижняя треугольные матрицы, единичная матрица
размерности n, единичные векторы, суммирующий вектор. Понятие
подматрицы.
3) Операции над матрицами и их свойства.
4) Матричная форма записи системы линейных уравнений. Матричная
формулировка метода Гаусса.
5) Понятие определителя квадратной матрицы размерности n. Миноры и
алгебраические дополнения.
6) Простейшие свойства определителей.
7) Вычисление определителей приведением их к треугольному виду.
8) Ранг матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная
матрица и условие её существования.
9) Вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса. Решение
квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
10) Собственные значения матриц ( характеристические числа и
собственные векторы матрицы.
12.4. Системы n - мерных векторов
1) Определение n - мерного вектора и n - мерного векторного пространства.
2) Понятие линейной комбинации n - мерных векторов. Геометрическая ин -
терпретация линейной комбинации в двумерном случае.
3) Линейные комбинации решений системы линейных уравнений (однород-
ный и неоднородный случаи).
4) Специальные линейные комбинации векторов : неотрицательная линейная
комбинация, выпуклая линейная комбинация. Геометрическая интер-
|
|
|
претация этих комбинаций в двумерном случае.
5) Представление вектора в виде линейной комбинации заданной системы
векторов. Тривиальное и нетривиальное представления нулевого вектора
по заданной системе векторов. Линейно зависимые и линейно
независимые системы векторов. Примеры линейно зависимых и линейно
независимых систем векторов.
6) Базис системы векторов. Канонический базис n - мерного векторного про-
странства. Представление n - мерного вектора в заданном базисе.
Составители : А.А.Васильев, А.А.Рыслинг
Практические занятия по курсу " Высшая математика " :
финансово-экономический факультет, I и II семестры, 82 часа.
Занятие 1
Множества. Способы задания множеств: перечисление, с помощью характеристического свойства элементов. Равенство и включение множеств. Множество всех подмножеств данного множества. Операции над множествами: объединение, разность, пересечение, дополнение. Диаграммы Эйлера –Венна.
Занятие 2
Декартово (прямое) произведение множеств. Отображение множеств. Прямое и обратное отображения. Однозначное и взаимно однозначное отображения. Понятие функции.
|
|
|
Занятие 3
Декартова (прямоугольная) система координат на плоскости. Полярная система координат. Координаты точки в декартовой и полярной системах координат.
Переход от одной системы координат к другой. Расстояние между двумя точками на плоскости.
Занятие 4
Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин.
Занятие 5
Различные виды уравнения прямой : уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках на осях, нормальное уравнение прямой. Построение прямой по её уравнению.
Занятие 6
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых.
Занятие 7
Расстояние от данной точки до данной прямой. Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных прямых.
|
|
|
Занятие 8
Составление уравнения кривой по её геометрическим свойствам. Кривые второго порядка : окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Занятие 9
Декартова система координат в пространстве. Векторы. Координаты вектора на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
Занятие 10
Основные задачи на плоскость : общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в нормальной форме, уравнение плоскости в отрезках на осях, угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, расстояние от точки до плоскости.
Занятие 11
Основные задачи на прямую в пространстве : канонические, параметрические и общие уравнения прямой ; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых ; угол между двумя прямыми ; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Занятие 12
Задачи на прямую и плоскость : угол между прямой и плоскостью, условия параллельности перпендикулярности прямой и плоскости ; уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую.
|
|
|
Занятие 13
Контрольная работа по аналитической геометрии ( на плоскости и в пространстве ).
Занятие 14
Последовательности : общий член последовательности, вычисление членов последовательности, нахождение общего члена по элементам последовательности, монотонные последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности.
Занятие 15
Предел последовательности. Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Вычисление пределов с использованием теорем о сходящихся последовательностях.
Занятие 16
Вычисление пределов последовательностей типа 
Пределы с числом е .
Занятие 17
Контрольная работа по вычислению пределов последовательностей.
Занятие 18
Предел функции : вычисление простейших пределов ; пределы при 
; ликвидация неопределённостей типа 
; пределы, связанные с числом е.
Занятие 19
Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
Занятие 20
Приращение функции. Непосредственное вычисление производной, исходя из её определения. Вычисление производных в простейших случаях ( с использованием таблицы производных и правил дифференцирования ). Производные сложной и обратной функций.
Занятие 21
Дифференцирование тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически.
Занятие 22
Дифференциал. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Раскрытие неопределённостей типа 
( правило Лопиталя ).
Занятие 23
Возрастание и убывание функций. Нахождение максимума и минимума функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Занятие 24
Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба графика функции. Асимптоты.
Занятие 25
Контрольная работа по исследованию функций и построению их графиков.
Занятие 26
Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной в неопределённом интеграле ( методы подстановки ). Интегрирование по частям.
Занятие 27
Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Несобственные интегралы 1 – го и 2 – го типов. Вычисление площадей плоских фигур.
Занятие 28
Контрольная работа по вычислению интегралов (неопределённый, определённый, несобственный ).
Занятие 29
Функции многих независимых переменных. Область определения. Предел и
непрерывность. Частные производные. Полное приращение и полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных.
Занятие 30
Дифференцирование сложной функции нескольких независимых переменных.
Производные и дифференциалы высших порядков. Линии и поверхности уровня. Производная функции по заданному направлению. Градиент функции.
Занятие 31
Экстремум функции нескольких независимых переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Занятие 32
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Особые решения уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Занятие 33
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную : 
. Уравнения, не содержащие искомой функции: 
. Уравнения, не содержащие независимой переменной : 
.
Занятие 34
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Занятие 35
Числовые ряды. Частичные суммы ряда. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Д ' Аламбера и признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
Занятие 36
Сходимость знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Лейбница и Абеля. Приближённое вычисление суммы ряда.
Занятие 37
Системы двух линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация решений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
Занятие 38
Матрицы. Операции над матрицами. Метод Гаусса в матричной форме.
Занятие 39
Определители и их свойства. Вычисление определителей приведением их к треугольному виду. Ранг матрицы и его вычисление. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Занятие 40
Вычисление обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
Занятие 41
Контрольная работа по теории матриц и решению систем линейных уравнений.
Литература
1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука , 1972.
2. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. М., Наука. 1981.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа. 1986 ( в 2 – х томах ).
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М., Наука. 1986.
5. Шмелёв П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М., Высшая школа. 1983.
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!