Многогранники в эпоху Возрождения.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
лицей 488 Выборгского района Санкт-Петербурга.
Индивидуальный проект
На тему
« Тысяча граней геометрической красоты »
(геометрия)
ученика 9 «в» класса
Гришина Макара Алексеевича
Руководитель проекта: учитель математики
Галданова Елена Анатольевна
г. Санкт-Петербург
2020г.
Оглавление
Введение……………..………………………………………………………....4
Актуальность проекта .…………………………………………………….….4
Глава 1. Что такое многогранник?………………………………………………. 6
Многогранники в природе……………………………………………………..7
История многогранников………………………………………………………9
· Доисторический период……………………………………………….9
· Древняя Греция и Древний Рим………………………………………10
· Великий труд Евклида…………………………………………………11
· Многогранники в эпоху Возрождения…………………………..........12
· Многогранники в 1700-2000 годах………………………………….. 14
· Многогранники в наши дни………………………………………….. 15
Глава 2. Большие семейства многогранников……………………………. ……15
Пять платоновых тел……………………………………………… ………… 15
· Тетраэдр………………………………………………………………...17
· Куб……………………………………………………………………... 17
· Октаэдр…………………………………………………………………18
· Додекаэдр………………………………………………………………18
|
|
|
· Икосаэдр………………………………………………………………. 19
Пирамиды и бипирамиды…………………………………………................. 19
Призмы и антипризмы……………………………………………………..….20
Дельтаэдры…………………………………………………………………….21
Архимедовы тела………………………………………………………….…..21
Каталановы тела…………………………………………………....................22
Звезчатые многогранники………………………………………....................23
Глава 3. Другие семейства многогранников…………………………………...24
Параллелипипеды……………………………………………………………..24
Поликубы…………………………………………………………………….. 24
Многогранники, обладающие особыми свойствами……………………….24
Зоноэдры………………………………………………………………………25
Трапецоэдры…………………………………………………………………...25
Ортогональные многогранники………………………………………………25
Производные многогранники……………………………………………...…25
Неправильные многогранники……………………………………………….26
Три особых многогранника………………………………………………..…26
Удивительные пары…………………………………………………………..27
Глава 4. Многогранники в архитектуре и искусстве……………………….…28
Многогранники в жилых домах………………………………………..…….28
|
|
|
Чудесные геодезические купола…………………………………………..…29
· Купол Фуллера………………………………………………..….…29
· Купол Ерсоt Сепtеr…………………………………………….........30
· Купол Ла-Виллет………………………………………………..…..30
· Купол Дали и другие сооружения……….…………………..…….31
Антонио Гауди и многогранники…………………………………................31
Любопытные произведения архитектуры…………………………...............32
Многогранники и искусство…………………………………………............34
Глава 5. Многогранники в дизайне и играх……………………………………36
Многогранники в ювелирном деле…………………………………………. 37
Многогранники дома……………………………………………………….…37
Мебель в городе……………………………………………………………….38
Царство упаковок…………………………………………………………….. 39
Многогранники в играх………………………………………………….……40
Кубик Рубика……………………………………………………………….… 41
Игральные кости……………………………………………………………….42
Заключение………………………………………………………………………..42
Список литературы: ……………………………………………………………...43
Введение
Окружающий нас мир полон изумительно красивых и сложных фигур. Людей всегда интересовали фигуры, с помощью которых можно описать природные объекты или создать новые искусственные предметы. И уже не одну тысячу лет математики при этом сталкиваются с определенными геометрическими фигурами.
|
|
|
Среди них особое место занимают многогранники – фигуры особого очарования с богатой родословной. Многогранники привлекали внимание не только геометров, но и кристаллографов, художников, скульпторов, производителей упаковки, ювелиров и архитекторов… «Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» — это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье (список литературы № 5).
Многогранники – один из многих видов геометрических фигур, которые окружают нас. Интерес к многогранникам не угасает и сегодня. Главная причина, по которой изучают правильные многогранники, не изменилась со времён Пифагора и заключается в том, что эти многогранники кажутся нам привлекательными. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой. Многогранники ждут вас – пусть путешествие в их мир окажется для вас приятным!
Актуальность проекта
Изучение многогранников всегда было частью школьной программы. Сегодня они по-прежнему включены в курсы геометрии и изобразительного искусства, так как являются простыми пространственными фигурами, которые, однако, позволяют изучить различные ситуации в трехмерном пространстве и могут использоваться как модели для обучения. Поэтому я выбрал тему «Тысяча граней геометрической красоты».
|
|
|
Цель работы
Моя цель - исследовать многогранники, изучить их историю, узнать какие они бывают, сравнить их, показать, где они встречаются и применяются в нашей с вами жизни и попробовать сделать их из различных материалов, таким образом - познакомить аудиторию с миром многогранников.
Задачи работы
Мои задачи - проанализировать историю развития теории многогранников, изучить различные виды многогранников, выявить разнообразие многогранников в природе и рассмотреть применение многогранников в архитектуре, искусстве и других различных областях культуры.
Объект исследования
Различные виды многогранников.
Предмет исследования
Свойства и особенности многогранников, их характеристики и применение.
Методы
Теоретический анализ литературных источников, научных статей, газет и информации из сети интернет.
Что такое многогранник?
Многогранник — это геометрическое тело с плоскими гранями, прямыми ребрами, являющимися границами граней многогранника, и вершинами — точками, в которых сходятся ребра.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями.
Многогранник (в трехмерном пространстве) — совокупность конечного числа плоских многоугольников, расположенных в разных плоскостях, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне)
На различных этапах истории математики многогранникам давались разные определения, и в результате родилось саркастическое замечание: «если у многогранников и есть что-то общее, то это название». Например, в античной Греции многогранники считались телами, однако позднее их стали рассматривать скорее, как поверхности. Мы будем считать, что всякий многогранник обязательно должен обладать тремя свойствами: иметь конечное число многоугольных граней, общие точки которых определяют ребра или вершины многогранника, иметь ребра, которые принадлежат только двум граням, и вершины, в которых сходятся различные ребра и грани (не менее трех).
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники.
Многогранники в природе
Фигуры, которые встречаются при изучении ботаники, зоологии и геологии, всегда вызывают большой интерес, в том числе и из-за своей сложной формы. Но не меньшее внимание привлекают и простые формы, обладающие определенной симметрией. Многогранники встречаются в природе не очень часто, но тем не менее они существуют. Так, в мире живых организмов существуют сферические формы, части которых имеют форму многогранников. Эрнст Геккель, сопровождавший Чарльза Дарвина в его путешествиях, описал радиолярии — одноклеточные существа, по форме напоминающие правильные и звездчатые многогранники. А феодарии из класса радиолярий, напоминают икосаэдр. Некоторые рыбы или кораллы по форме напоминают купола или звездчатые многогранники. Некоторые животные, например пчелы, при постройке ульев используют шестиугольные призмы.
Форму многогранников имеют также гроздья некоторых плодов и различные виды семян: например, сосновые шишки.
Сегодня известно, что белковые структуры большинства вирусов имеют форму многогранников (впервые это было замечено у вирусов полиомиелита). Структура вируса иммунодефицита человека представляет собой правильный икосаэдр.
В геологии часто встречаются молекулы, имеющие форму многогранников, однако наиболее удивительные многогранники образуются при росте кристаллов на макроуровне.
Минералы с неупорядоченной структурой атомов называются аморфными (например, опал),
с четкой структурой — кристаллическими (пирит).
Атомы, расположенные в виде правильной геометрической структуры, образуют элементарные ячейки, повторением которых в трех измерениях образуется кристаллическая решетка. Геометрический анализ подобных кристаллических решеток лежит в основе современной классификации кристаллических систем. Каждая элементарная ячейка представляет собой призму определенных размеров (а, b , с) и с определенными углами (α, β, γ) и свойствами (эти свойства называются кристаллографическими свойствами). Выделяют семь классических кристаллических решеток: это кристаллы пирита, везувиана, сидерита, бериллия, барита, мела и аксинита. В каждой из этих семи кристаллических решеток можно увидеть различные многогранники, которые обязательно обладают общими свойствами симметрии. Так, в кубической решетке присутствуют не только кубы, но и, например, октаэдры, так как они обладают теми же осями и плоскостями симметрии, что и кубы.
| Система | Примеры многогранников |
| Кубическая | Кубы, октаэдры, ромбододекаэдры, икоситетраэдры |
| Тетрагональная | Тетраэдры, призмы, пирамиды |
| Тригональная | Ромбоэдры, треугольные пирамиды |
| Гексагональная | Шестиугольные призмы, гексагональные трапецоэдры |
| Ромбическая | Параллелепипеды и пинакоиды |
| Моноклинная | Параллелепипеды |
| Триклинная | Параллелепипеды |
Математическая теория симметрии (и ее роли в природе) появилась в XIX веке именно потому, что геологи стали проявлять интерес к кристаллографии и геометрической классификации кристаллических систем. Кристаллография изучает рост, форму и геометрию кристаллов с помощью химических опытов, позволяющих увидеть связи между химическими формулами и расположением атомов, и физических экспериментов (дифракции рентгеновских лучей), которые помогают выявить геометрическую структуру атомов. Поэтому специалисты по кристаллографии очень любят многогранники. Ювелиры придают драгоценным камням форму многогранников, подчеркивая их «правильность».
История многогранников
Так как особые многогранники (кубы, ромбододекаэдры, призмы, пирамиды и другие) можно встретить в природе, можно сказать, что они сопровождали людей всегда. Однако интересно будет выделить в истории человечества этапы творческого подъема, когда совершались великие математические открытия, позволившие проникнуть в тайны этих удивительных фигур.
Доисторический период
В Шотландии археологи обнаружили множество сфер, высеченных из камня. Их возраст оценивается в 4 тысячи лет. Ведутся жаркие споры о том, не являются ли эти сферы грубо изготовленными правильными многогранниками, а также об их возможном применении.
Ювелирные украшения в форме многогранников, возраст которых насчитывает несколько тысяч лет, были найдены в Африке, Месопотамии и Египте. Именно в эпоху фараонов были построены великолепные пирамиды Египта. Хотя легендарная пирамида Хеопса, или Великая пирамида, — один из наиболее изученных древних памятников, математики выделяют ее среди остальных еще и потому, что в так называемом Московском математическом папирусе, написанном около 1890 года до н. э., приведены расчеты по вычислению ее объема.
Многогранники издавна использовались при изготовлении игральных костей: так археологами была найдена этрусская игральная кость в форме додекаэдра, датируемая 1000 годом до н. э. Современные игральные кости так же имеют форму многогранников.
Древняя Греция и Древний Рим
Пифагор Самосский (около 582 года до н. э. — 507 год до н. э.) создал космологическое учение, связавшее правильные многогранники с устройством Вселенной. Из пифагорейской философии родился мистицизм, в котором многогранники соотносились с четырьмя основными элементами природы: тетраэдр символизировал огонь, куб — землю, октаэдр — воздух, икосаэдр — воду, а додекаэдр отождествлялся с небесной сферой. У пифагорейцев вызывали большой интерес особые свойства правильных многоугольников и сокрытые в них отношения между числами. Даже символом пифагорейской школы была пентаграмма — пятиконечная звезда, связанная с правильным пятиугольником. Вероятно, Пифагору были известны три правильных многогранника, однако есть сомнения в том, что он знал о существовании двух остальных.
Первая теория о пяти правильных телах принадлежит великому греческому математику Теэтету Афинскому (415 год до н. э. — 369 год до н. э.) Его основные открытия касались иррациональных чисел и были изложены в «Началах» Евклида, в разделе, посвященном пяти правильным многогранникам.
Однако правильные многогранники обрели популярность благодаря Платону, который создал в своей Академии подлинный культ геометрии и рассказал о многогранниках в знаменитом диалоге «Тимей». В нем Платон упоминает о соответствии между многогранниками и четырьмя элементами природы и возводит додекаэдр в ранг мистического символа космоса. Платон определяет правильный многогранник так: «имеющий свойство делить всю описанную около него сферу на равные и подобные части». Поэтому неудивительно, что название «Платоновы тела» прочно закрепилось в науке.
Великий труд Евклида
Евклид Александрийский обучался вместе с последователями школы Пифагора и оставил после себя множество трудов по геометрии, оптике, музыке, астрономии, механике, и т.д. Его «Начала» стали первым большим учебником в истории математики и это наиболее издаваемой книгой после «Библии». Каждая из тринадцати книг Евклида начинается с общих утверждений, или аксиом — очевидных высказываний, не требующих доказательства. Затем следуют 15 постулатов геометрии, задающих правила игры, и на их основе последовательно доказываются в общей 465 предложений, или теорем. Я приведу в пример некоторые определения из книги ХI:
Определение 26. Октаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между восемью равными и равносторонними треугольниками.
Определение 27. Икосаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между двадцатью равными и равносторонними треугольниками.
Определение 28. Додекаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между двенадцатью равными, равносторонними и равноугольными пятиугольниками.
Благодаря Евклиду интерес греческих математиков к правильным многограннику заметно возрос. Так, Архимед (287 год до н.э.— 212 год до н. э.) дал определение тринадцати полуправильным многогранникам, которые затем изучил Папп (годы жизни — ок. 320 года н. э.).
В это же время в Китае также возник интерес к многогранникам. Объемы элементарных многогранников были приведены в книге «Математика в девяти книгах» (100 год н. э.), а Лю Ху эй вычислил объемы некоторых многогранников (263 год н.э.).
В период с 200 по 500 год римляне изготовили великое множество бронзовых додекаэдров (двенадцатигранников) с круглыми отверстиями разных размеров, вершины которых были украшены сферами. До сих пор так и не ясно, как использовались эти прекрасные фигуры: они могли быть украшениями, подсвечниками, детскими игрушками, вазами для цветов или чем-то еще.
Многогранники в эпоху Возрождения.
К сожалению, в Средневековье интерес к геометрии в Европе значительно снизился. Ни один раздел геометрии Евклида, не содержал указаний на строгий метод, позволяющий передать трехмерную реальность на плоскости. Любопытно, что никто из математиков не задавался этим вопросом, и, поэтому некая «оптическая» система изображения возникла в живописи.
Первые правила перспективы можно увидеть уже в работах Дуччо (1255—1319), Джотто (1276—1337) и Амброджо Лоренцетти (ок. 1290—1348). Однако создателем новой теории перспективы стал гениальный архитектор и художник Филиппо Брунеллески (1377—1446). Он понял, что картина словно окно, через которое художник смотрит по другую сторону реальности: все параллельные прямые в ней должны сходиться в одной точке — точке схода. Бесконечно удаленные точки в перспективе Брунеллески стали точками схода, и для зрителя изображение на картине ничем не отличалось от реального. Так был совершен первый прыжок в трехмерный мир.
В трактате «О перспективе в живописи» великого математика и художника Возрождения Пьеро делла Франчески (ок. 1410—1492) были приведены изображения некоторых тороидальных многогранников (так называемых мазоччо) и многогранных куполов. Этот гениальный художник вновь открыл различные виды полуправильных многогранников (так называемых архимедовых тел) и смог применить свои новаторские методы перспективы, использовав многогранники в качестве моделей. Однако его увлечение математикой позволило ему открыть новые взаимосвязи между многогранниками, в особенности вписанными и описанными.
Лука Пачоли (1445—1517) изучал способы изображения многогранников, кубооктаэдров (усеченных) и звездчатых многогранников. При написании книги «О божественной пропорции» источником вдохновения для него служили неопубликованные рукописи Пьеро делла Франчески. Он также включил в свой труд рисунки Леонардо да Винчи, на которых были изображены прозрачные модели многогранников, и описал многогранники в своей книге об архитектуре. Многие художники и архитекторы того времени изучали приемы и методы перспективы, но никто не мог превзойти Леонардо.
Великий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 — 1630) интересовался не только законами физики, описывающими движение планет, — он также провел системное исследование многогранников, открыв два звездчатых многогранника, антипризмы, и вновь открыв многогранники Архимеда. Любопытно, что Кеплер увлекался как многогранниками, так и астрономией и создал любопытную модель, в которой связал космологию и правильные многогранники.
Кеплер был настолько очарован космогонией Пифагора и Платона, что создал свою космологию, взяв за основу пять правильных многогранников. Он счел, что правильные многогранники должны быть ключом, который использовал Творец при создании Вселенной. Во времена Кеплера было известно всего шесть планет: Меркурий, Венера, Земля. Марс, Юпитер и Сатурн. Существует бесконечно много правильных многоугольников, однако правильных многогранников всего пять. Это не могло быть случайностью — Бог-геометр не совершал ошибок. Кеплер считал, что число планет и число правильных многогранников были связаны: «существует всего шесть планет, поскольку существует всего пять правильных многогранников». Кеплер описал модель Солнечной системы, в которой Платоновы тела были вписаны или вложены друг в друга, связав радиусы вписанных концентрических сфер и орбит планет. Он посчитал, что открытые им совершенные структуры, заключавшие в себе сферы шести планет, — это незримый каркас Вселенной, и назвал свое открытие «Тайна мира». В орбиту (и соответствующую ей сферу) Сатурна Кеплер вписал куб, в него — сферу Юпитера, описанную вокруг тетраэдра. В этот тетраэдр он вписал сферу Марса. Между сферами Марса и Земли располагался додекаэдр, между Землей и Венерой — икосаэдр, между Венерой и Меркурием — октаэдр, а в центре модели находился «король» — Солнце. Об этом открытии говорили так, «геометрия Пифагора, дополненная мистическим и философским идеализмом Платона и структурированная Евклидом, позволила Кеплеру увидеть сияющий образ совершенного Космоса — отражение великолепия Творца».
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 578; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!