Система с алгоритмом адаптации на основе второго метода Ляпунова

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Цель работы: изучение свойств непрерывной адаптивной системы, синтезированной на основе второго метода Ляпунова; исследование влияния параметров возмущений на качество работы системы.

Основные сведения

Второй метод Ляпунова нашел применение в задачах синтеза адаптивных регуляторов. Рассмотрим процедуру синтеза для линейного объекта управления (ОУ), модель которого имеет вид

где хÎRⁿ – вектор состояния, nÎR^m – вектор управления; A, B – постоянные матрицы параметров объекта управления, dim A = n x n, dim B =
= n x m . Коэффициенты матриц А, В заранее не известны. Известно лишь, что значения коэффициентов ограничены сверху и снизу, т.е.

для всех i, j.

Вектор состояния считается доступным измерению, поэтому y = x,
y – вектор выходных переменных.

Желаемая динамика задается эталонной моделью вида

где х_мÎRⁿ – вектор состояния эталонной модели; rÎR^m – вектор задающих воздействий. Выбор эталонной модели зависит от требований, предъявляемых к замкнутой системе (времени переходного процесса, перерегулирования, астатизма и т.д.). Эталонная модель должна быть устойчивой, т.е. матрица коэффициентов А_м – гурвицева, поэтому уравнение det(pI – A_м) = 0 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, I – единичная матрица соответствующей размерности, В_м – матрица полного ранга.

Пусть цель функционирования системы задана предельным уравнением

где e(t) – ошибка системы.

Объект управления подвержен влиянию параметрических возмущений. Поэтому в дальнейшем рассмотрим синтез системы с параметрической адаптацией.

Сначала полагаем, что параметры ОУ известны. Для получения структуры «идеального» регулятора запишем уравнение в отклонениях

Условие разрешимости задачи синтеза имеет вид

разрешая это уравнение относительно u (t), имеем

домножим слева каждую часть уравнения на B^T

полагаем det(B^TB) ¹ 0, тогда

Если реализовать найденный закон управления, то система будет описываться уравнением

Решение этого уравнения равномерно асимптотически устойчиво в силу гурвицевости матрицы А_м. Следовательно, при «идеальном» законе управления поставленная цель достигается.

Уравнение «идеального» закона управления можно записать в виде

где – матрицы «идеальных» коэффициентов регулятора. Соотношения между коэффициентами при х:

для коэффициентов при r:

кроме того

Полученные условия называются условиями согласования модели и ОУ.

«Идеальный» закон управления не реализуем, так как параметры ОУ не известны. Поэтому выполним замену идеальных коэффициентов регулятора ( ) настраиваемыми (k^r, k^x). Структура регулятора описывается уравнением

. (3.1)

На следующем этапе расчета системы определяются уравнения, в соответствии с которыми настраиваются коэффициенты регулятора, т.е. алгоритмы изменения k^r, k^x. Получим описание обобщенного настраиваемого объекта в отклонениях. Введем обозначения

тогда

Введем расширенную матрицу отклонений настраиваемых коэффициентов от их «идеальных» значений

и вектор сенсоров, элементы которого измеряются или вычисляются на основе измерений

, dim S = p x 1, p = n + m.

Уравнение для ошибки примет вид

Для исследования системы используем функцию вида

где tr (.) – след матрицы (сумма элементов главной диагонали).

Определим производную функции V по времени:

Вторая составляющая уравнения обращается в ноль, если

Производная исследуемой функции принимает вид

отрицательная определенность функции следует из гурвицевости матрицы коэффициентов эталонной модели. Матрица Н удовлетворяет уравнению Ляпунова:

Полагая медленное изменение коэффициентов и учи-тывая ранее введенные обозначения, получим вид алгоритмов адаптации:

, (3.2)

(3.3)

Методические указания

Рассматривается линейный одноканальный объект управления (1.18), (1.19) с параметрическими возмущениями. Желаемая динамика системы задается уравнением эталонной модели (1.20) по требованиям к качеству переходных процессов, приведенных в табл. 1.1 (статическая ошибка работы системы равна 5 %). В системе эталонная модель реализуется в виде линейного динамического звена второго порядка, дифференциальное уравнение, записанное относительно выходной переменной, имеет вид

В данном случае основной контур (3.1) описывается уравнением

, (3.4)

где k₀= const. Алгоритм адаптации (3.2), (3.3) преобразуется к виду

, (3.5)

где γ₁, γ₂= const – коэффициенты передачи адаптора, e₁= x₁– x_м₁,
e₂ = x₂ – x_м₂, x_м₁= y_м, x_м₂= , k^x = , dim H = 2 x 2, H = const,
H = H ^T, H > 0, H – матрица коэффициентов квадратичной формы, выбранной для исследования устойчивости адаптивной системы, V = x ^T H x . Элементы матрицы H определяются как решение матричного уравнения Ляпунова

= – Q, Q = Q ^T, Q > 0. (3.6)

Схема системы с нестационарным объектом управления и измеряемой производной выходной переменной изображена на рис. 3.1.

Порядок работы

3.1. Определить элементы матриц , , по заданным требованиям к качеству процессов (см. табл. 1.1).

3.2. Вычислить элементы матриц H как решение уравнения Ляпунова (3.6), полагая .

3.3. Записать уравнения алгоритмов адаптации (3.5) с вычисленными значениями коэффициентов.

3.4. Собрать схему эталонной модели (1.20) на интегрирую-
щих элементах. Получить переходную характеристику . Определить показатели качества: σ %, t _n.

3.5 Собрать схему адаптивной системы (рис. 3.1), объект управления моделировать по схеме, приведенной на рис. 1.1 (см. лаб. работу
№ 1). Получить графики переходной характеристики системы (y(t)), управляющего воздействия(u (t))и процессов на выходе адаптора ( ) при r (t) = 1(t), нулевых начальных условиях по координатам состояния, g₁=10,g₂ =1, k^r (0) = 1. Определить показатели качества (s %, t _n, t _na).

3.6. Изменить значения коэффициентов передачи адаптора так, чтобы показатели качества выходного процесса соответствовали эталонным значениям, полученным в п. 3.4. Сравнить переходные характеристики и процессы в адапторе с результатами п. 3.5 по s %, t _n, t _na.

3.7. Изменить начальные условия в объекте (x₁(0) = –1), x₂(0) = 1), получить вид y (t), u (t), (t), k₂(t), . Моделирование провести при g₂= 1 и различных g₁: g₁= 1,g₁= 10. Сравнить результат с п. 3.5.

3.8. Изменить последовательно параметры объекта а₀, а₁, b в 2 раза, выполнить задание п. 3.5.

3.9. Изменить модель объекта управления , . Провести моделирование при нулевых начальных условиях и различных значениях , : а) =1, =1, б) = 1, = 10, в) = 10, = 1. Для достижения эталонных показателей качества изменить значения , .

3.10^*. Построить зависимость u_maxот a (см. п. 3.8 лаб. работы № 1).

3.11 Выполнить расчет наблюдателя состояния (см. методические указания к лаб. работе № 1). Собрать схему системы с наблюдателем (рис. 3.2). Выполнить исследование системы, повторив пп. 3.5, 3.6, 3.9.