Составление и решение уравнения вертикальных колебаний кузова
Свободные колебания подпрыгивания кузова с одноступенчатой системой подвешивания
Простейшая модель локомотива с одноступенчатой системой подвешивания показана на рисунке 2.1. Эта модель позволяет исследовать колебания подпрыгивания кузова массой 
, который опирается на комплект пружин общей жесткостью 
, определенной в п.1. Параллельно с пружинами работают гидравлические гасители колебаний с линейной характеристикой. Коэффициент сопротивления гасителя колебаний 
(п.1) – это сила, которую нужно приложить к его поршню для перемещения его со скоростью 1 м/с.
Рисунок 2.1. Модель экипажа с одноступенчатой системой подвешивания
Если к массе приложить мгновенную действующую силу, то она будет совершать свободные колебания около положения устойчивого равновесия.
Система имеет одну степень свободы, следовательно, ее положение в пространстве определяется одной обобщенной координатой 
.
Как известно, дифференциальное уравнение, описывающие эти колебания имеет вид:
. (2.1)
Дифференциальное уравнение (2.1) линейное, однородное, с постоянными коэффициентами. Его решение проще всего составить по корням характеристического уравнения. Разделим все члены уравнения (2.1) на массу и введем новые обозначения:
(2.2)
|
|
|
где 
, 
.
Характеристическое уравнение
.
Корни характеристического уравнения:
.
В зависимости от соотношения 
и 
возможны три случая:
а) 
- случай малого сопротивления в системе.
Тогда корень характеристического уравнения имеет вид
,
где 
.
Решение уравнения колебания подпрыгивания записывается в виде
.
где 
- произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Пусть в начальный момент времени, т.е. 
, 
. Так как имеется две неизвестные , то необходимо получить дополнительное уравнение путем дифференцирования уравнения (2.2) по времени:
. (2.3)
Подставляя в уравнение (2.2) и (2.3) начальные условия, получаем
.
Окончательное решение уравнения (2.2), характеризующее свободные затухающие колебания подпрыгивания кузова, запишется в виде
.
График колебательного процесса представлен на рисунке 2.2. Здесь 
- круговая частота затухающих колебаний, 
- период этих колебаний.
Рисунок 2.2. График колебательного процесса (случай малого сопротивления в системе)
б) 
- случай критического сопротивления в системе.
Тогда корень характеристического уравнения имеет вид
|
|
|
, - кратные корни.
Для этого случая решение записывается в виде
. (2.4)
По начальным условиям 
, получаем
.
Следовательно, имеем
. (2.5)
Так как в уравнении (2.5) не тригонометрических функций, то оно описывает апериодическое движение кузова. График этого процесса изображен на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3. График колебательного процесса (случай критического сопротивления в системе)
в) 
- случай большого сопротивления в системе.
Тогда корень характеристического уравнения имеет вид
,
где 
; 
,
имеем случай действительных и отрицательных корней.
Пусть
Тогда
. (2.6)
Так как 
и 
отрицательны, то с течением времени 
будет убывать по апериодическому закону (рис. 2.4)
.
Рисунок 2.4. График колебательного процесса (случай большого сопротивления в системе)
Если в системе подвешивания отсутствует гаситель колебаний, то 
, 
. Тогда 
и решение запишется в виде
|
|
|
(2.7)
Имеем уравнение свободных гармонических колебаний. Здесь 
- круговая частота, 
- период этих колебаний (рис. 2.5).
Рисунок 2.5. График колебательного процесса (без трения в системе)
, 
(2.8)
Порядок расчета
1. Определить соотношение 
и 
.
2. В зависимости от соотношения и определить производные постоянные 
. Начальные условия определяются заданием.
3. Определить период и частоту колебаний
4. Решить уравнение колебаний и построить график вертикальных колебаний кузова 
.
Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!