Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 27Следующая ⇒

Как перевести число, записанное в одной системе счисления, например, десятичной, в какую-либо другую систему. Рассмотрим основные правила перевода.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

. (7)

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4

Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример. Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления.

11101000₂=1·2⁷+1·2⁶+1·2⁵+0·2⁴+1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5

Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
8ⁿ	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример. Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления.

75013₈=7·8⁴+5·8³+0·8²+1·8¹+3·8⁰=31243₁₀.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X₁₆=A_n·16^n-1+A_n-1·16^n-2+A_n-2·16^n-3+…+A_2·16¹+A_1·16⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6

Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
16ⁿ	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример. Число FDA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления.

FDA1₁₆=15·16³+13·16²+10·16¹+1·16⁰=64929₁₀.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления.

22₁₀=10110₂.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

571₁₀=1073₈.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7467₁₀=1D2B₁₆

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (таблица 5).

Пример. Число 1001011₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

001 001 011₂=113₈.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (таблица 5).

Пример. Число 1011100011₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

0010 1110 0011₂=2E3₁₆

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичную необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления.

5318=101011001₂

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число EE8₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

EE8₁₆=111011101000₂

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример. Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления.

FEA₁₆=111111101010_2,

111 111 101 010₂=7752_8.

Пример. Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

6635₈=110110011101_2,

1101 1001 1101₂=D9D_16.

Пример. Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно, используется таблица 7 следующего вида:

Таблица 7

Таблица основание системы

Основание системы
10	2	8	16
0	0	000	0000
1	1	001	0001
2	-	010	0010
3	-	011	0011
4	-	100	0100
5	-	101	0101
6	-	110	0110
7	-	111	0111
8	-	-	1000
9	-	-	1001
10	-	-	1010
11	-	-	1011
12	-	-	1100
13	-	-	1101
14	-	-	1110
15	-	-	1111

При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.

Эти правила зависят от того, в какой системе счисления осуществляются арифметические операции, связанные с преобразованием чисел, - в той, в какой представлено исходное число, или в той, в которую оно переводится.

Правило 1. Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде суммы степеней:

C=C_mP^m+C_m-1P^m-1+…+C₁P¹+C₀P⁰ +C_-1P^-1+…+C_-sP^-s, (8)

где P – основание, C – коэффициенты, i – номера разрядов выражены в новой системе. Первая позиция слева от разделителя целой и дробной части имеет номер 0, слева от неё находится первая позиция, ещё левее – вторая и т.д. Первая позиция справа от разделителя имеет номер -1, следующая за ней – номер -2 и т.д. Все действия надо выполнять в новой системе.

Примеры.

_{3 2 1 0 - 1 -2}

1101,01₂= 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 0·2^-1 + 1·2^-2= 8 + 4 + 1 + 0,25 = 13,25₁₀,

_{1 0 -1 -2}

52,25₈ = 5·8¹+ 2·8⁰ + 2·8^-1 + 5·8^-2 = 40 + 2 + 0,25 + 0,078 = 42,328_10,

_{2 1 0 -1}

1A9,4₁₆ = 1·16² + 10·16¹ + 9·16⁰ + 4·16^-1= 256 + 160 + 9 + 0,25 = 425,25₁₀.

Правило 2. Перевод десятичных чисел в другую систему счисления.

Для перевода целого десятичного числа применяется следующее правило:

1. Разделить число на основание той системы счисления, в которую осуществляется перевод: выделить целую часть частного и остаток от деления. Остаток будет младшим разрядом искомого числа;

2. Целую часть частного снова разделить на основание системы счисления. Остаток от деления будет следующим разрядом числа;

3. Продолжать процесс до тех пор, пока целая часть частного не станет равной нулю.

Примеры.

1. Перевести десятичное число 356 в двоичную систему счисления.

356₁₀=101100100₂

356 2

2 178 2

15 16 89 2

14 18 8 44 2

16 18 9 4 22 2

16 0 8 4 2 11 2

0 1 4 2 10 5 2

0 2 1 4 2 2

0 1 2 1

1. Перевести десятичное число 625 в восьмеричную систему счисления.

625₁₀=1161₈

625 8

56 78 8

65 72 9 8

64 6 8 1

1 1

2. Перевести десятичное число 182 в шестнадцатеричную систему счисления.

182₁₀=B6₁₆

182 16

16 11 = B

Правило 3. Перевод дробной части десятичных чисел в другую систему счисления.

Чтобы перевести дробную часть десятичных чисел в другую систему счисления, нужно выполнить следующие действия:

1. Умножить исходную дробь на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Целая часть произведения будет старшим разрядом дробной части числа (позиция номер -1);

2. Дробную часть произведения снова умножить на основание системы счисления. Целая часть этого произведения будет следующим разрядом дроби (позиция номер -2);

3. Продолжать процесс до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, или пока не будет достигнута нужная точность числа.

Примеры.

1. Перевести десятичное число 0,25 в двоичную систему счисления

0,25₁₀=0,01₂

0,25 · 2 = 0,5; 0 – старший разряд двоичной дроби;

0,5· 2 = 1,0 1 – следующий разряд.

2. Перевести десятичное число 0,53 в двоичную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,53₁₀= 0,100001₂

0,53 · 2 = 1,06;

0,06 · 2 = 0,12

0,12 · 2 = 0,24

0,24 · 2 = 0,48

0,48 · 2 = 0,96

0,96 · 2 = 1,92

3. Перевести десятичное число 0,13 в восьмеричную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,13₁₀ =0,102436₈

0,13 · 8 = 1,04

0,04 · 8 = 0,32

0,32 · 8 = 2,56

0,56 · 8 = 4,48

0,48 · 8 = 3,84

0,84 · 8 = 6,72

4. Перевести десятичное число 0,96 в восьмеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,96₁₀ = 0,75341₈

0,96 · 8 = 7,68

0,68 · 8 = 5,44

0,44 · 8 = 3,52

0,52 · 8 = 4,16

0,16 · 8 = 1,28

5. Перевести десятичное число 0,891 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,891₁₀ = 0,Е4189₁₆

0,891 · 16 = 14,256

0,256 · 16 = 4,096

0,096 · 16 = 1,536

0,536 · 16 = 8,576

0,576 · 16 = 9,216

6. Перевести десятичное число 0,398 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до четвёртого знака после запятой.

0,398₁₀ = 0,65Е3

0,398 · 16 = 6,368

0,368 · 16 = 5,888

0,888 · 16 = 14,208

0,208 · 16 = 3,328

7. Перевести десятичное число 13,25 в двоичную систему счисления. 13,25₁₀ = 1101,01₂

13	2
12	6	2
1	6	3	2
	0	2	1
		1

0,25 · 2 = 0,5;

0,5· 2 = 1,0

8. Перевести десятичное число 42,33 в восьмеричную систему счисления с точностью до двух знаков после запятой.

9. Перевести десятичное число 425,77 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до трёх знаков после запятой.

425,77₁₀ = 1А9,C51₁₆

425	16
32	26	16
105	16	1
96	10
9

0,77 · 16 = 12,32

0,32 · 16 = 5,12

0,12 · 16 = 1,92

Правило 4. Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода числа из восьмеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из трёх разрядов – триад (т.к. 8 = 2³). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Примеры.

1) Перевести восьмеричное число 615,27₈ в двоичную систему счисления:

6₈ = 110₂

1₈ = 001₂

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂

615,27₈ = 110001101,010111₂

2) Перевести восьмеричное число 173,54₈ в двоичную систему счисления

1₈ = 001₂

7₈ = 111₂

3₈ = 011₂

5₈ = 101₂

4₈ = 100₂

173,54₈ = 001111011,101100₂

Правило 5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Обратный перевод осуществляется следующим образом:

1. Двоичное число разбивается на триады. Разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние триады дописываются нулями.

2. Выполняется перевод отдельно для каждой триады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.

Примеры.

1) Перевести двоичное число 10111001,01101₂ в восьмеричную систему счисления.

₁ 0 1 1 1 0 0 1 , 0 1 1 0 1₂ = 010 111 001 ,011 010₂ = 271,32_8.

1) Перевести двоичное число 1011000011,1001₂ в восьмеричную систему счисления.

1011000011,1001₂ = 001 011 000 011 , 100 100₂ = 1303,44_8.

Правило 6. Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода числа из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из четырёх разрядов – тетрад (т.к. 16 = 2⁴). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Примеры.

1) Перевести шестнадцатеричное число 6F3,A5₁₆ в двоичную систему счисления

6₁₆ = 0110₂

F₁₆ = 1111₂

3₁₆ = 0011₂

A₁₆ = 1010₂

5₁₆ = 0101₂

6F3,A5₁₆ = 011011110011,10100101₂

1) Перевести шестнадцатеричное число A39,F4₁₆ в двоичную систему счисления

A₁₆ = 1010₂

3₁₆ = 0011₂

9₁₆ = 1001₂

F₁₆ = 1111₂

4₁₆ = 0100₂

A39,F4₁₆ = 101000111001,11110100₂

Правило 7. Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Обратный перевод осуществляется следующим образом:

1. Двоичное число разбивается на тетрады. Разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние тетрады дописываются нулями.

1. Выполняется перевод отдельно для каждой тетрады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.

Примеры.

1) Перевести двоичное число 111101,01101₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

111101,01101₂ = 0011 1101 , 0110 1000₂ = 3D,68₁₆_.

1) Перевести двоичное число 1010000,01110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

1010000,01110₂ = 0101 0000 , 0111 0000₂ = 50,7_16.

Правило 8. Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Восьмеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из триад;

1. Полученное двоичное перевести в шестнадцатеричную систему счисления, разбив двоичное число на тетрады.

Примеры.

1) Перевести восьмеричное число 534,713₈ в шестнадцатеричную систему счисления.

534,713₈ = 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 1 0 0 1 0 1 1₂ = 0001 0101 1100, 1110 0101 1000₂

5₈3₈4₈7₈1₈3₈= 15С,Е58₁₆.

2) Перевести восьмеричное число 360,234₈ в шестнадцатеричную систему счисления.

360,234₈ = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 1 1 1 0 0₂ = 0000 1111 0000, 0100 1110

3₈ 6₈ 0₈ 2₈ 3₈ 4₈

0000₂ = F0,4E₁₆.

Правило 9. Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Шестнадцатеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из тетрад;

1. Полученное двоичное перевести в восьмеричную систему счисления, разбив двоичное число на триады.

Примеры.

1) Перевести шестнадцатеричное число A2C,3₁₆ в восьмеричную систему счисления.

A2C,3₁₆ = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 , 0 0 1 1₂ = 101 000 101 100 , 001 100₂ = 5054,14₈.

A₁₆ 2₁₆ C₁₆ 3₁₆

2) Перевести шестнадцатеричное число CBF5,E6₁₆ в восьмеричную систему счисления.

CBF5,E6₁₆ = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 0 1 1 0₂ = 001 100 101 111 110

C₁₆ B₁₆ F₁₆ 5₁₆ E₁₆6₁₆

101, 111 001 100₂ = 145765,714₁₆

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 379; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!