Формулы для расчета эквивалентных напряжений

⇐ ПредыдущаяСтр 54 из 64Следующая ⇒

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений σ_экв = √σ²+ 4τ².

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения

σ_экв = √σ²+ 3τ²,

где τ = M_K / W_P — расчетное касательное напряжение;

σ = M _И / W_X — расчетное нормальное напряжение.

Условие прочности при совместном действии изгиба

И кручения

Мэкв

σ_экв = ------ ≤ [σ] ,

где М_экв — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных
напряжений Мэкв III = √М и² + М к².

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

Мэкв v = √М и² + 0,75М к².

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 285

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Примеры решения задач

Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса возникают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) М_х; М_у; M_z .

М_х и М_у — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx соответственно; M_z — крутящий момент. Проверить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, если [σ] = 120 МПа. Исходные данные: М_х = 0,9 кН∙м; М_у = 0,8 кН•м; M_z = 2,2 кН • м; d = 60 мм.

Решение

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибающих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных напряжений от кручения (рис. 35.2).

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхности. Максимальные нормальные напряжения от момента М_х возникают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента М_у в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.

286 Лекция 35

Суммарный изгибающий момент: Ми = √М x² + М y²;

М_и = √0,9² + 0,8² = 1,2 кН • м.

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Условие прочности: Мэкв

σ_экв = --------- ≤ [σ] , Wосевое = Wх = Wу.

Wосевое

Момент сопротивления сечения: Woceeoe = 0,1 • 60³ = 21600 мм³.

Проверяем прочность:

Прочность обеспечена.

Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы F t 1 = 1,2 кН; F_t ₂ = 2 кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости F_r₁ = 0,43 кН; F_r ₂ = 0,72 кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d 1 = 0,1м; d2 = 0,06м.

Принять для материала вала [σ] = 50МПа.

Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = dВН/ d). Расчет провести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 287

Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).

1. Крутящий момент на валу: