Формулы для расчета эквивалентных напряжений

⇐ ПредыдущаяСтр 54 из 64Следующая ⇒

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений σ_экв = √σ²+ 4τ².

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения

σ_экв = √σ²+ 3τ²,

где τ = M_K / W_P — расчетное касательное напряжение;

σ = M _И / W_X — расчетное нормальное напряжение.

Условие прочности при совместном действии изгиба

И кручения

Мэкв

σ_экв = ------ ≤ [σ] ,

где М_экв — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных
напряжений Мэкв III = √М и² + М к².

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

Мэкв v = √М и² + 0,75М к².

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 285

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Примеры решения задач

Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса возникают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) М_х; М_у; M_z .

М_х и М_у — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx соответственно; M_z — крутящий момент. Проверить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, если [σ] = 120 МПа. Исходные данные: М_х = 0,9 кН∙м; М_у = 0,8 кН•м; M_z = 2,2 кН • м; d = 60 мм.

Решение

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибающих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных напряжений от кручения (рис. 35.2).

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхности. Максимальные нормальные напряжения от момента М_х возникают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента М_у в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.

286 Лекция 35

Суммарный изгибающий момент: Ми = √М x² + М y²;

М_и = √0,9² + 0,8² = 1,2 кН • м.

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Условие прочности: Мэкв

σ_экв = --------- ≤ [σ] , Wосевое = Wх = Wу.

Wосевое

Момент сопротивления сечения: Woceeoe = 0,1 • 60³ = 21600 мм³.

Проверяем прочность:

Прочность обеспечена.

Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы F t 1 = 1,2 кН; F_t ₂ = 2 кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости F_r₁ = 0,43 кН; F_r ₂ = 0,72 кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d 1 = 0,1м; d2 = 0,06м.

Принять для материала вала [σ] = 50МПа.

Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = dВН/ d). Расчет провести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.