Полярный момент инерции сечения

⇐ ПредыдущаяСтр 39 из 64Следующая ⇒

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

где р — расстояние до полюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку р² = х² + у², получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых: Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сечения повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измерения моментов инерции: м⁴; см⁴; мм⁴.

Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шириной bв виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy = dA . Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 211

Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата:

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые.

Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2 πp dp .

Подставим это выражение для площади в формулу для полярного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

где d — наружный диаметр кольца; d_BH — внутренний диаметр кольца.

Если обозначить d_BH/ d = с, то

212 Лекция 25

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярными моментами инерции, получим:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Ox0 и Ох параллельны (рис. 25.4).

При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоО хов новое положение уоО х значения моментов инерции J_x , J_y , J_xy заданного сечения меняются. Задается формула перехода без вывода.

здесь J_x — момент инерции относительно оси Ох;

J_X₀— момент инерции относительно оси Ox0;

А — площадь сечения;

а — расстояние между осями Ох и Ox0.

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 213

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.

bh ³

Для прямоугольника J_X₀₂ = ——.

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ.

Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ox0 .

Момент инерции сечения

2. Осевой момент инерции относительно оси Оу:

Момент инерции сечения

214 Лекция 25

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1.

Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jo_x ₁ = 572 см⁴.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 J o x ₂ = 757 см⁴.

Площадь А 2 = 18,1 см², J o y ₂ = 63,3 см⁴.

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят.
При этом главные центральные оси поменялись местами.

y2 = ( h 1 /2) + d 2 — z o ₂ ; по ГОСТ находим h 1 = 14 см; d2 = 5 мм; zo = 1,8 см.

3. Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции
швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу
моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае J ´ q _X2 = J ´ qу₂ = 63,3 см⁴;

y2 = (14/2) + 0,5 — 1,8 = 5,7 см (расстояние между осями координат Ох' и Ох);

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз
увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J_x = 2,5 мм⁴иJy = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J_x = 4 см⁴. Определите величину J_p .

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 215

4. В каком случае J_x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J_x подойдет
для сечения, изображенного на рис. 25.8?

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси J_Xo = 174см⁴; площадь поперечного сечения 10,9 см².

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

216 Лекция 26

ЛЕКЦИЯ 26

Тема 2.5. Кручение.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 669; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 34 35 36 37 383940 41 42 43 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!