Об отношении к интеллектуальным задачам

Выше мы показали, что интеллектуальные задачи могут быть положены в основу учебников для начальной школы, что они обладают сложной структурой, что их воздействие многоаспектно, что их польза может проявляться как непосредственно, так и через длительные промежутки времени… В этих условиях весьма важно, чтобы в педагогическом сообществе сформировалось правильное отношение к интеллектуальным задачам, адекватное их значимости. Опишем некоторые из тех «идеологических ошибок» в восприятии интеллектуальных задач, которые время от времени совершаются разными людьми.

Естественно, что школьники обращаются за помощью к родителям, а те зачастую обнаруживают, что их учили математике совсем не так, как учат их детей. Действительно, раскраска бус или раскладывание фигур по коробочкам мало похожи на пересчёт, счёт, таблицу умножения и другие элементы математики, которые считались её сутью несколько десятилетий назад. При этом упускается из виду, что в процессе изучения математики современные школьники изучают не только математику, что приобретённые знания и умения будут востребованы далеко за её пределами.

Учителя начальной школы зачастую уклоняются от рассмотрения интеллектуальных задач или считают их полезным «довеском» к основному содержанию математики. Действительно, трудно связать раскраску бус и раскладывание по коробочкам с построением графиков и доказательством теорем, и уж тем более трудно связать первоначальный опыт ребёнка с опытом творческой деятельности подростка-старшеклассника.

Учителя основной школы находятся в сложном положении. В одной стороны, они вынуждены «смотреть назад» и оценивать возможности детей в решении интеллектуальных задач, развивая успехи и корректируя недостатки. С другой стороны, они вынуждены «смотреть вперёд» и вовлекать детей в творческую работу. То и другое входит в противоречие с решением рутинных, повседневных и совершенно необходимых педагогических задач.

Учителя старших классов, привлекающие детей к решению творческих задач в области математики, достаточно часто испытывают серьёзные трудности, которые, впрочем, воспринимаются ими как вполне естественные. Проблема состоит в том, что причины этих трудностей многочисленны и разнотипны: недостатки в постановке математической задачи, недостаточные математические способности детей, мощная инерция репродуктивной учебной деятельности и многое другое. Среди этих причин достаточно трудно или даже невозможно выделить те, которые были связаны с недостаточной тренировкой в решении интеллектуальных задач, тем более что тренировка эта происходила много лет назад.

По глубокому убеждению автора, для успешной реализации исследовательски ориентированного обучения коллективу конкретной школы, педагогическому сообществу в целом, ученикам и родителям было бы целесообразно выработать особое, «пассеистическое» отношение к процессу обучения. Ученик, который совместно с семьёй и школой готовит себя к выполнению той или иной, но всегда серьёзной, социальной роли, мог бы чувствовать себя не только наследником великих научных традиций, но и их частью. В этом случае прошлое присутствует в настоящем, развивается и движется вперёд, а собственная деятельность воспринимается как накопление и приращение того, что достигнуто ранее: ещё один построенный чертёж, ещё одна доказанная теорема, ещё один компьютерный эксперимент, ещё один локальный успех. Автору крупно повезло, потому что он испытал огромное удовольствие от обучения в такой атмосфере. К счастью, оно доступно всем.

О типологии ориентаций процесса обучения

Выше мы говорили об исследовательски ориентированном обучении математике в школе. Представим его на фоне других ориентаций педагогического процесса, которые стихийно сложились к данному моменту, или апробируются, или проектируются, или обсуждаются педагогическим сообществом… Быть может, тот фон, который образуют друг для друга разные типы обучения, поможет выявить их сравнительные достоинства.

Хорошо известно, что причиной возникновения ранней математики[11] были практические вопросы. Древние египтяне и древние греки вынуждены были измерять земельные участки, поэтому они начали изучать прямоугольники и треугольники. Они начали изучать окружности, потому что были вынуждены проектировать арены, водные резервуары и тому подобные объекты. Практически неизбежное следствие «инженерного» происхождения математики состояло в том, что ранняя математика была эмпирической наукой. В культуре того времени представление о том, что математическое утверждение может быть доказано, не было ещё развитой идеей. Правила арифметических действий были сформированы практикой вычислений, а для «доказательства» геометрического «факта» достаточно было сделать разумное изображение.

Естественный для педагога вопрос состоит в том, чтобы понять, в какой мере и в каких формах эмпирическое начало математики присутствует в образовании школьников.

Нашу версию ответа на этот вопрос начнём с анализа того, каким образом в начальной школе изучается переместительный закон сложения: . Сначала школьники делают наблюдение над результатами сложений двух количеств однотипных объектов в различном порядке: 2 + 3 равно пяти, а 3 + 2 тоже, оказывается, равно пяти; 6 + 4 равно десяти, и 4 + 6 тоже равно десяти; и т.д. После серии испытаний, длина которой зависит от конкретной педагогической ситуации, формулируется правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Очевидно, что переместительный закон сложения представляет собой теоретический факт, однако он не доказан в том смысле, что он не выведен логически из общих положений. В силу малого возраста и опыта учащихся невозможно ни провести доказательство, ни сформулировать какие-либо общие положения, адекватные развитию детей. К счастью, с психологической точки зрения обсуждаемый факт прекрасно обоснован: его подтверждает огромное количество примеров, абсолютная невозможность привести контрпример, а главное, полное отсутствие потребности в поиске контрпримеров. Таким образом, теоретический факт обоснован экспериментально.

Другим примером использования экспериментальных методов в обучении математике является введение правила нахождения неизвестного слагаемого (начальная школа) на основе интуитивных представлений учащихся об основном свойстве измерения отрезков и опыте решения задач на нахождении длины части отрезка по длине целого отрезка и известной части (рис. 11).

Рис. 11. Нахождение неизвестного слагаемого

Ещё одним примером является введение (6-й класс) правила переноса слагаемого из одной части уравнения в другую, которое обосновывается с помощью модели весов (рис. 12).

Рис. 12. Правило переноса слагаемого

Весьма важно, что такое соотношение экспериментального и теоретического начал характерно для первых лет обучения математике. Перечислим ещё несколько фактов, изучаемых в том же стиле:
1) сочетательный закон сложения (умножения); 2) переместительный закон умножения; 3) распределительный закон умножения относительно сложения; 4) правило прибавления нуля; 5) правило умножения на единицу; 6) правило умножения на нуль; 7) правило нахождения неизвестного вычитаемого (уменьшаемого, множителя, делителя, делимого); 9) правило сложения (вычитания, умножения, деления) в столбик; 10) правило сложение (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями; 11) основное свойство обыкновенной дроби... Перечень это далеко не полон, однако он позволяет сформулировать следующее утверждение: с первого по шестой класс освоение математики осуществляется преимущественно экспериментальными методами.

Здесь уместно вспомнить известную мысль Дж. Брунера: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно учёному-физику» [4]. (Курсив Брунера.) Естественно предположить, что освоение математики экспериментальными методами формирует у школьников и конкретные навыки, и менталитет математика-экспериментатора.

Интересно, что школьник, обладающий первичными навыками математика-экспериментатора, подвергается в седьмом и последующих классах суровому испытанию – освоению теоретического компонента математики. В седьмом классе начинают формироваться представления о том, что одни утверждения могут быть выведены из других утверждений чисто логическим путём. Возникают такие понятия, как теорема и аксиома. В связи с понятием теоремы оказываются необходимыми новые понятия: условие теоремы, заключение теоремы, доказательство теоремы. В связи с понятием доказательства возникает представление о методах доказательства, и начинают накапливаться конкретные методы: метод тождественных преобразований в алгебре, метод дополнительных построений в геометрии, общенаучный метод от противного и т.д.

Естественно, что частично сформированные навыки математика-экспериментатора взаимодействуют с формирующимися навыками математика-теоретика. Инерция мышления, которая сама по себе неизбежна, необходима и во многих случаях полезна, приводит к тому, что поначалу такое взаимодействие носит характер противодействия. Быть может, трудности многих школьников при освоении геометрии обусловлены именно тем, что в предшествующие годы они хорошо усвоили стиль мышления математика-экспериментатора.

В этих условиях естественная задача педагога состоит в том, чтобы гармонизировать взаимодействие двух начал математики, экспериментального и теоретического. Если говорить в общем плане, то такая гармонизация должна означать формирование у школьников целого комплекса представлений. Во-первых, необходимо сформировать первичные представления о теоретическом методе познания действительности, описанные выше, а затем начать их интенсивное развитие. Во-вторых, необходимо обеспечить переход от примитивного эмпиризма начального обучения к полноценным математическим экспериментам, которые стали возможны благодаря доступности интерактивных математических сред. В-третьих, и это главное, необходимо сформировать правильное представление о взаимодействии теории и эксперимента в математике. Важно сформировать убеждённость в том, что любое утверждение, полученное экспериментальным путём, должно быть осмыслено теоретически, то есть доказано или опровергнуто с помощью известных теорем.

По мнению автора, желаемая гармонизация отнюдь не достигнута, и тому есть несколько причин разного уровня значимости. Главная из них состоит в том, что в гармонизации нуждаются не только теоретическая и экспериментальная деятельность школьника и учителя, но и целый ряд других компонентов длительного, 11-летнего изучения математики в школе.

В данном разделе мы предложим одну из типологий возможных ориентаций процесса обучения математике. В её основе будут лежать различные сочетания тех «значений», которое принимают три естественные характеристики процесса обучения: информационная, методологическая и организационная. Приступим к описанию заявленной типологии.

Начнём с простого утверждения: в процессе обучения математике в мозгу школьника постоянно происходят преобразования информации. Они подразделяются, по крайней мере, на два типа, наличие которых достаточно очевидно. Первый тип преобразований можно было бы назвать первичным освоением информации. Если чуть упростить ситуацию, то речь идёт об освоении определений и теорем. То и другое подробно описано в разнообразной методической литературе, например в [7, гл. III, IV]. Преобразования второго типа происходят в процессе исследовательской деятельности учащихся. Литература на эту тему необозрима. Укажем классические книги Д. Пойа [21–23] и две современные книги [40, 31].

Визуализацией того, что сказано в предыдущем абзаце, может служить ось под названием Информация, на которой отложены две точки: ОИ – освоение информации, и ИД – исследовательская деятельность.

Выше мы говорили о методологии математики в том смысле, что констатировали наличие двух групп методов, экспериментальных и теоретических. Визуализацией этого обстоятельства может служить ось под названием Методы, на которой отложены две точки: Э – экспериментальные методы, и Т – теоретические методы.

Ещё одно простое утверждение относится к организационным формам процесса обучения. Оно состоит в том, что деятельность школьников подразделяется на учебную и внеучебную. Визуализацией этого обстоятельства может служить ось Формы, на которой отложены две точки: У – учебная деятельность, и ВУ – внеучебная деятельность.

Изобразим на одном чертеже то, что сказано выше о визуализации. С этой целью оси Информация, Методы и Формы изобразим в виде осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно. При этом точки ОИ, Э и У поместим одновременно в начало координат. Если через оставшиеся точки ИД, Т и ВУ провести плоскости, параллельные координатным плоскостям, то возникнет куб, изображённый на рис. 13(а). Обозначим этот куб стандартным образом как  (рис. 13(б)). В результате каждая вершина куба приобретёт три координаты. Например, точка  приобретет координаты , а точка  приобретает координаты . Именно эти координаты и будут характеризовать общую ориентацию процесса обучения математики, так что рис. 13(а) и 13(б) являются визуализацией той «типологии ориентаций», о которой го-ворилось в названии раздела.

Очевидно, что мы будет говорить о восьми различных ориентациях процесса обучения математике. Перечислим их, апеллируя к рис. 13, приводя формальные описания этих ориентаций и давая краткие комментарии.

1. О(ОИ, Э, У): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи экспериментальных методов в учебное время.

Обозначения к рис. 13: ОИ – освоение информации; ИД – исследовательская деятельность; Э – экспериментальные методы; Т – теоретические методы; У – учебная деятельность; ВУ – внеучебная деятельность.

Рис. 13. Типология ориентаций учебного процесса

Фактически мы уже говорили, что такая ориентация характерна для изучения математики в начальной школе. Трудно или невозможно организовать регулярную внеучебную работу в начальной школе, а быть может, этого и не нужно делать. Было бы не реалистичным говорить об исследовательской деятельности детей 7–10 лет. В этих условиях исследовательская ориентация обучения состоит в решении большого количества интеллектуальных задач, описанных в предыдущих разделах. Образно говоря, интеллектуальные задачи сдвигают ориентацию обучения от точки О к точке А.

2. А(ОИ, Т, У): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи теоретических методов в учебное время.

Такая ориентация реализуется на уроках геометрии в 7-м классе, если учитель ограничивается книгой [1] и каким-либо задачником. Возникает двойственная ситуация. С одной стороны, использование учебника и задачника неизбежно, поскольку речь идёт о начале регулярного курса геометрии. В силу этого неизбежными являются элементы вышеописанной ориентации, а её доминирование, если таковое имеет место, выглядит вполне естественным. С другой стороны, накоплен значимый опыт использования экспериментальных методов при изучении геометрии, отражённый, например, в книгах [31, 19]. Кроме того, накоплен опыт исследовательской деятельности учеников основной школы, отражённый, например, в книге [28]. Очевидно, что использование значимого опыта на уроках математики является весьма желательным.

Здесь мы подходим к трудной и важной педагогической задаче. Дело в том, что содержание книг [31, 19, 28] относится преимущественно к внеучебной работе школьников, то есть ко кружкам, факультативам, конкурсам, конференциям и т.д. При этом остаётся неясным, какую методику должен использовать учитель, чтобы его ученики могли самостоятельно или полусамостоятельно изобрести теоремы из учебника математики. Остаётся неясным, насколько регулярным должно быть «повторное изобретение» теорем. Наконец, остаётся неясным, каким должно быть соотношение теоретических и экспериментальных методов в процессе такого изобретения. Во второй главе будет предпринята попытка частичного решения этой задачи.

3. В(ИД, Т, У): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи теоретических методов в учебное время.

По мнению автора, реализация обучения описанного типа является маловероятной. Во-первых, работа по освоению информации (координата ОИ) является неизбежной и требует времени, хотя, конечно, первичная информация может осваиваться в процессе исследовательской деятельности. Во-вторых, исследовательская деятельность по изучению той или иной темы требует бо́льшего времени, чем традиционное её изучение с помощью объяснений учителя и чтения учебника. В-третьих, в случае успеха исследовательской деятельности в учебное время она почти неизбежно будет распространена на время внеучебное, а это несколько изменит (скорректирует) ориентацию обучения.

По-видимому, обучение описанной ориентации в наибольшей мере реализуется в СУНЦах. Было бы естественным преобразовать опыт изучения математики в СУНЦах к тому виду, который может быть использован в профильных (и не только в профильных) классах.

4. С(ИД, Э, У): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи экспериментальных методов в учебное время.

По мнению автора, реализация обучения описанного типа ещё менее вероятна, чем реализация предыдущего типа В (ИД, Т, У). Отход от типа 3 к типу 4 означал бы отказ от теоретических методов в пользу экспериментальных. Во-первых, такой отказ было бы трудно объяснить, а во-вторых, чрезмерный акцент на экспериментальных методах имеет негативное побочное действие – экспериментально-теоретический разрыв, описанный, например, в книге [31, разд. 2.4]. Очевидно, что в процессе исследовательской деятельности школьников необходимо гармоничное сочетание теоретических и экспериментальных методов. К сожалению, не сформировалось единого мнения о том, что такое «гармоничное сочетание теоретических и экспериментальных методов» применительно к математике. Не вдаваясь в теоретизирование, автор пытался представить образец гармоничного исследования в книге [40, разд. 7.3]. Ещё одна попытка будет предпринята ниже, в разделе 3.3.

5. О₁(ОНИ, Э, ВО): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи экспериментальных методов во внеучебное время.

Организуя занятия школьников во внеучебное время, учитель школы и преподаватель вуза обладают достаточно большой свободой. Они могут сосредоточиться как на исследовательской работе школьников, так и на освоении ими новой информации, а используемые ими методы могут быть как теоретическими, так и экспериментальными. Повторимся: использование экспериментальной математики во внеучебной работе со школьниками хорошо представлено в книгах [31, 19]; там же можно найти ссылки на литературу.

6. А₁(ОНИ, Т, ВО): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи теоретических методов во внеучебное время.

Очевидно, что с течением времени взгляды педагогов на внеучебную деятельность школьников претерпевают те или иные изменения. Проиллюстрируем эволюцию взглядов на некоем частном, но выразительном примере, в котором отразились характерные свойства общей ситуации.

В 1962–1966 гг., то есть с 8-го по 11-й класс, автор обучался в Юношеской математической школе при Ярославском государственном педагогическом институте им. К. Д. Ушинского. Сохранился документ с перечнем изученных курсов. Приводим его.

1. Элементарная геометрия.

2. Элементы векторной алгебры.

3. Элементы дифференциального и интегрального исчисления.

4. Вопросы оснований геометрии.

5. Элементы конечной математики.

6. Элементы высшей алгебры.

Из перечня видно, что педагогический коллектив прилагал основные усилия к тому, чтобы передать школьникам важную, но хорошо известную информацию. При этом даже не заходило речи о самостоятельном исследовании какой бы то ни было математической проблемы, пусть самой простой. По умолчанию предполагалось, что молодой человек способен произвести самостоятельное исследование только по достижении определённого уровня образованности. Применяемые методы изложения были чисто теоретическими и не содержали никакого намёка на возможность экспериментирования в математике, хотя преподаватели были хорошо осведомлены об эмпирическом происхождении ранней математики. По умолчанию предполагалось, что экспериментальный период математики закончился, и далее она будет развиваться теоретическими методами.

Мы видим, что представления полувековой давности существенно отличаются от современных взглядов, однако сказанное выше отнюдь не носит характер критики. Просто появились новые психологические данные об интеллектуальных возможностях детей и о позитивном влиянии научного сообщества на процесс образования. Появились большие возможности для постановки математических экспериментов. Был накоплен значимый опыт руководства научными исследованиями школьников. Автор отдаёт дань уважения своим преподавателям, которые проявили энтузиазм и изощрённый ум в деле математического образования в условиях неширокой теоретической парадигмы и стеснённых технических возможностей.

7. В₁(ИД, Т, ВО): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи теоретических методов во внеучебное время.

Именно такая ориентация обучения порождает результаты, которые впоследствии представляются на конференциях школьников. Многолетнее участие автора в конференции «Открытие» показывает, что на ней ни разу не были представлены результаты математических экспериментов.

В рамках теоретической традиции были выполнены проекты, описанные в разделах 3.2, 3.4 и 3.5.

8. С₁(ИД, Э, ВО): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи экспериментальных методов во внеучебное время.

Возможно, что именно в этом направлении будут эволюционировать исследования школьников. Весомым аргументом в пользу такого утверждения является содержание книг [31, 19]. Наша лепта в это направление содержится в разделе 3.3. В нем предложено описание проекта, который, будучи в целом теоретическим, невозможен без небольшой по объёму, но значимой экспериментальной части.

В заключение мы рискнём сделать небольшой прогноз, в котором будут отражены наши мечты об идеальном учебном процессе. Мы надеемся на то, что ориентация математического образования будет, образно говоря, дрейфовать к центру куба, изображённого на рис. 13(а). При этом освоение информации (ОИ) и исследовательская деятельность (ИД) будут сближаться и позитивно воздействовать друг на друга, экспериментальные (Э) и теоретические методы (Т) будут находиться в гармонии, а учебная (У) и внеучебная деятельность (ВУ) школьников окажутся тесно связанными.

 

Глава 2

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 187; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!