Дальнодействие» интеллектуальных задач
В разделе 1.3.1 мы показали, что с первых дней обучения в школе ученик начинает приобретать первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования. Покажем, что такой опыт оказывается полезным далеко за пределами начальной школы и применимым для решения математических задач самых разных типов.
Мы ограничимся двумя важнейшими методами – анализом и синтезом, которые формируют у школьников представления о целом и о части целого. Взаимодействие этих двух представлений состоит том, что при решении задач приходится постоянно совершать две мыслительные операции, взаимно дополняющие друг друга: выделение из целостного объекта какого-либо его компонента и восстановление объекта по какой-либо его части.
Рассмотрим четыре задачи, относящиеся к разным годам обучения и разным разделам математики. Первая из них относится к изучению арифметики в 6-м классе.
Задача 1 ([8, № 186(2)]). Найдите число, 25% которого равны
Обсуждение. Уже сама формулировка задания подсказывает, что решение должно состоять из двух частей. Действительно, прежде чем восстанавливать искомое число по известному проценту от него, нужно найти значение написанного выражения.
Рассматриваемое выражение можно трактовать разными способами. С одной стороны, оно является отнюдь не самым сложным выражением из числа тех, которые встречаются в учебнике. С другой стороны, оно содержит 82 символа! Очевидно, что оперировать всеми ими одновременно невозможно, поэтому придётся расчленить его на части. К счастью, эти части «видны» и представляют собой два слагаемых, которые можно вычислять независимо друг от друга.
|
|
|
Второе слагаемое существенно проще первого как по «площади записи», так и по количеству операций, поэтому его можно «оставить на потом».
Первое слагаемое тоже состоит из двух частей: конкретного делимого 6,4 и сложного делителя, записанного в квадратных скобках.
Делитель также состоит из двух слагаемых, которые вычисляются независимо друг от друга. Каждое слагаемое представляет собой дробь, которая состоит из двух частей – числителя и знаменателя, которые также вычисляются независимо друг от друга.
Сказанное означает, что прежде чем произвести первую арифметическую операцию, школьник должен расчленить целостное выражение на смысловые группы, причём проделать это многократно. При этом каждый раз необходимо запомнить те смысловые группы, которые временно остаются вне анализа и к которым придётся вернуться впоследствии.
Итак, не самая сложная арифметическая задача 6-го класса требует для своего решения изощрённого анализа, который окажется труднодоступным без предварительной подготовки в начальной школе.
|
|
|
Вторая задача относится к изучению алгебры в 8-м классе.
Задача 2 ([7, № 4.69(а)]). Упростите выражение
, если 
Обсуждение. Данная задача также является отнюдь не сложной. Особенность её решения состоит в том, что по фрагментам подкоренного выражения восстанавливаются, а затем и применяются, целостные формулы. Так, выражение 
ассоциируется с формулой
(1)
благодаря которой его можно заменить на выражение 
. В свою очередь, выражение 
ассоциируется с формулой
(2)
благодаря которой его можно заменить на выражение 
. В результате этих рассуждений исходное выражение приобретёт вид
.
Ещё раз вынося за скобки общий множитель 
, мы преобразуем выражение к виду
.
Здесь фрагмент 
подкоренного выражения ассоциируется с формулой
(3)
благодаря которой его можно заменить на выражение 
. Окончательно получаем, что исходное выражение равно
.
Итак, в процессе решения конкретной задачи мы восстанавливали общие формулы (1), (2) и (3), а затем применяли их. Интересно, что применяя формулу (1), мы заменяли её левую часть на правую, а применяя формулы (2) и (3), мы заменяли правую часть на левую.
|
|
|
Повторимся: не самая сложная алгебраическая задача 8-го класса требует для своего решения анализа и синтеза, которые окажутся труднодоступными без предварительной подготовки в начальной школе.
Третья задача относится к изучению математического анализа в 11-м классе.
Задача 3. Постройте график функции, заданной равенством 
.
Обсуждение. В процессе решения предыдущей задачи мы трижды использовали однотипное рассуждение: фрагмент выражения ассоциировался с целостной формулой, которая затем была применена к этому фрагменту. Интересно, что похожее рассуждение применяется в общепринятой схеме исследования функций: алгебро-аналитическое исследование даёт информацию об отдельных свойствах функции, по которым затем строится её целостный график.
В нашем случае построение графика происходит в несколько этапов. Во-первых, алгебраическое исследование знакопостоянства функции говорит о том, что
. (4)
Во-вторых, алгебро-аналитическое исследование знакопостоянства производной говорит о том, что
. (5)
В-третьих, формулы (5) ассоциируются с двумя теоремами: достаточным условием монотонности и достаточным условием экстремума. Восстанавливая их в памяти и применяя их, мы получаем следующие утверждения:
|
|
|
. (6)
В-четвёртых, мы визуализируем утверждения (4) и (6). Утверждение (4) означает, что график функции расположен в заштрихованных областях (рис. 7). При этом переход графика из одной области в другую происходит в точках 
, 
и 
. Два последних утверждения системы (6) позволяют вычислить локальные экстремумы функции:
,
.
Благодаря этому на графике функции появляются ещё две точки, 
и 
(рис. 7).
Наконец, мы синтезируем результаты визуализации и информацию о промежутках монотонности из системы (6). В результате получается целостный график, изображённый на рис. 8.
Итак, целостное исследование функции разбито на пять частей: алгебраическое исследование, алгебро-аналитическое исследование, восстановление и применение двух теорем, визуализация утверждений, синтез фрагментарной информации и получение целостного объекта.
Вновь мы видим, что типичная и не очень сложная задача по математическому анализу требует для своего решения взаимодействия представлений о целом и его части. Без предварительной систематической подготовки в выполнении анализа и синтеза такая задача окажется труднодоступной.
Рис. 7. Визуализация результатов аналитического исследования
Рис. 8. График функции
Рис. 9. График «квадратичной функции»
Заметим, что последний этап – построение графика по результатам исследования – является не формализуемым и, как следствие, может приводить к результатам, которые не соответствуют действительности и которые, тем не менее, трудно назвать ошибками. В педагогической практике автора был случай, когда на вопрос о виде графика функции 
был предъявлен ответ, представленный на рис. 9. На нём правильно отражены чётность функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точка экстремума, тип экстремума и экстремальное значение, но…
Четвёртая задача относится к изучению геометрии в 8-м классе.
Задача 4 (8 класс). Докажите следующее утверждение: если хорды 
и 
окружности пересекаются в точке 
, то имеет место равенство
. (7)
Обсуждение. На рис. 10 показано условие задачи.
Равенство (7) выглядит как фрагмент теоремы об основном свойстве пропорции:
(8)
Рис. 10. Теорема о пересекающихся хордах
Считая отрезки в правой части равенства (7) крайними членами и применяя эту теорему, получим сначала структуру
, (9)
а затем формулу
(10)
Равенство (10) выглядит как фрагмент определения подобных треугольников. Трудность в том, что ни в условии, ни в предыдущих рассуждениях никаких треугольников нет. Единственный «намёк» содержится в формуле (10): нужно рассмотреть треугольники, образованные теми точками, которые фигурируют в левой (правой) части формулы, то есть треугольники 
и 
. Проведя недостающие отрезки (пунктир на рис. 10), мы видим, что эти треугольники действительно подобны, поскольку углы при вершине вертикальны, а углы при вершинах 
и опираются на одну и ту же дугу.
Так рождается стандартное доказательство методом восходящего анализа:
Заметим, что не существует формальных правил, которые обеспечивали бы переход от структуры (7) именно к формуле (10). Совершенно аналогичные рассуждения могут привести нас не к формуле (10), а к формуле
(11)
Дальнейшие рассуждения от этого не изменятся, просто необходимо будет рассмотреть другие треугольники.
В очередной раз мы видим, что при решении несложной геометрической задачи пришлось восстанавливать целостную терему по её фрагменту, а затем применять эту теорему к имеющимся данным. Очевидно, что для таких действий необходима длительная тренировка.
Теперь мы можем сделать общий вывод: опыт анализа и синтеза, приобретённый в начальной школе, оказывается полезным далеко за её пределами и применимым для решения математических задач самых разных типов.
Было бы весьма интересно построить примеры той же идейной направленности в отношении остальных общенаучных методов исследования.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 213; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!