Ряды Фурье. Ортогональная система функций. Тригонометрический ряд Фурье

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9

Рядом Фурье для периодической с периодом T=2π функции y=f(x), определённой на интервале [-π;π], называется тригонометрический ряд:

Коэффициенты , , находятся по формулам Фурье:

Нахождение коэффициентов для триг - го ряда Фурье (теорему док).

Теорема: Если функция определена и непрерывна на и разлагается в тригонометрический ряд (*), который можно почленно интегрировать, то это разложение единственное.

Доказательство:

Умножим обе части (*) на , проинтегрируем на . Аналогично умножим (*) на и проинтегрируем. .

Умножим (*) на и проинтегрируем на Коэффициенты равенства (*) определяются единственным образом такое разложение единственное , , , Ч.т.д.

Теорема Дирихле(без док.)

Пусть ограниченная функция удовлетворяет на условиям:

1) интервал можно разбить на конечное число интервалов, в которых функция – непрерывная и монотонная.

2) если x_o т. разрыва функции , то пределы , . Т.е точка x₀ – т.разрыва 1 рода.

Тогда ряд Фурье функции сходится и имеет место равенство

Замечание. Если представить функцию, периодически продолженную на всю ось Ox c периодом , то утверждение теоремы будет справедливо .

Тригонометрический ряд Фурье на произвольном интервале (- l , l ).

Пусть f(x) периодическая с периодом , ≠ .. Разложим функцию в ряд Фурье. Для этого сделаем замену . Тогда f( ) – периодическая функция от переменной t с периодом 2 , её можно разложить на x .