Три свойства (о линейной комбинации членов) сходящихся рядов (теоремы доказать)
Теорема2
Если ряд - сходящийся и его сумма равна S,то ряд ( 0) сходящийся и = S
Если ряд - расходится,то -расходится.
Док-во: Пусть - сходящийся . = =
Пусть -расходится = -расходится.
Теорема3
Если ряды и - сходится и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и =
Док-во: = =
Теорема 4
Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов ,присоединить конечное число членов ряда или произвести перестановку членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда.
Опр-е: Для ряда выражение вида называется остатком данного ряда после n-го слагаемого.
Если остаток ряда сходится,то =
Теорема 5 (Сходимость ряда сходимости его остатка)
Если ряд сходится,то и любой его остаток сходится.Если какой-то остаток ряда сходится,то сам ряд сходится,причем если:
, , ,то
Док-во:
Пусть и -частичная сумма ряда и соответственно , ,тогда . Для произвольного фиксированного n.
(сходится к ) и (сходится к )сущ-ют и несущ-ют одновременно.
Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами (теор. док.)
Ряды с неотрицательными членами: Ряд все члены которого неотрицательны называется знакоположительным.
Критерий сходимости:
Н: Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы ограничены сверху (т.е.
Доказательство: П. знакоположительный ряд сходится. Это значит .
|
|
{Sn}- последовательность ч.с. – возрастающая. Тогда Sn<S, т.е. {Sn} – огранич., S=M.
Д: Члены последовательности ч.п. огранич. сверху. Кроме того – возрастающая, монотонно. Поэтому, по теореме Вейерштрасса (всякая монотонная возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел): – сходится.
Первый признак сравнения (теор. док.)
Если начиная с некоторого номера N (для ) выполняется неравенство , то из сходимости ряда B => сходимость ряда A; из расходимости ряда A => расходимость ряда B.
Доказательство:
Не умаляя общности положим , с n=1. Если ряд B сходится => числовые суммы ограничены (по критерию сх-ти знакопол. рядов), значит ч.с. ряда A и подавно ограничены (т.к. ) => ряд A – сходится. Ряд A расходится, тогда (по критерию сх-ти знакопол. рядов) ч.с. неогранич. => ч.с. ряда B тем более неогранич. => ряд B – расходится.
Предельный признак сравнения (теорему док.)
Пусть имеется два знакоположительных ряда 1) 2) .
Если существует конечный предел , то
1) если ряд (1) сходится, ,то ряд (2) сходится
2) если ряд (1) расходится, ,то (2) расходится.
В частности получаем, если , то (1) и (2) либо вместе сходятся, либо расходятся.
|
|
Доказательство:
1) По условию теоремы
Рассматривая модуль, получим ;
2) k>0 , выбираем значения ,если (1) расходится, то , где , -расходится (по признаку сравнения).
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 198; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!