Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (вывод)
Плоскость α проходит через точку М0(x0,y0,z0) , то ее уравнение может быть записано в виде А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0, которое можно переписать так: z-z0=A1(x-x0)+B1(y-y0) (1)
(разделив уравнение на –С и обозначив А/-C=A1, В/-C=B1).
Найдем А1 и В1.
Уравнения касательных l 1 и l 2 имеют вид
z-z0=f′y(x0,y0)∙(y-y0) , x=x0;
z-z0=f′x(x0,y0)∙(x-x0) , y=y0;
соответственно.
Касательная l1 лежит в плоскости α, следовательно, координаты всех точек l1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы
z-z0=f′y(x0,y0)∙(y-y0)
x=x0
z-z0=A1(x-x0)+B1(y-y0)
Разрешая эту систему относительно В1, получим, что В1=f′y((x0,y0).
Подставив значения А1 и В1 в уравнение (1), получаем уравнение касательной плоскости:
z-z0= f′x(x0,y0)∙ (х-х0)+ f′y(x0,y0)∙(y-y0)
Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:
Теорема о дифференцировании сложной функции (1-я теорема – доказать, 2-я – без док.)
Теорема1:
Пусть задана z=f(x,y) определена 
на D и 
, t 
(α,β)
Для любого t0 
(α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) 
D.
Пусть выполняются два следующие условия:
1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D д z /д x ; д z /д y
2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существует производая сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле 
|
|
|
Док-во:
Рассмотрим функцию z=f(x,y)=f(x(t),y(t))
из 1) 
z - дифференцируема. По определению 
(*) 
; 
; 
;
Выберем Δx и Δy специальным образом зависящие от Δt:
Δx=x(t0+ Δt)-x(t0);Δy= y(t0+ Δt)-y(t0)
в силу непрерывности функции x(t) и y(t) 
=0 
поделив (*) на Δt≠0 получим 
; 
z′t=z′xx′t+ z′yy′t
Теорема2(более общий случай)
Пусть z=f(x,y), определена в области D. 
определена областью G причем выполняется, если (U,V) G,то x(U,t),y(U,t) 
D
Пусть выполняются условия:
1) для z=f(x,y) существуют непрерывные частные производные
2) для 
существуют частные производные, тогда существуют производные сложной функции 
Если функция будет иметь больше переменных, то увеличится число слагаемых.
27. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала (доказать для случая z = U ( x , y )).
Пусть z=f(x,y), где 
, удовлетворяет условию теоремы (Пусть задана z=f(x,y) определена на D и 
, t (α,β))
Для любого t0 (α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) 
D.
Пусть выполняются два следующие условия:
1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D д z /д x ; д z /д y
|
|
|
2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существуют производные сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле dz/dt=д t /д x ∙dx/dt+д z /д y ∙dy/dt)
тогда 
Форма 1-го дифференциала функции 2-х (и более) переменных не зависит от того являются ли х и у независимыми переменными или являются функциями других независимых переменных.
Док-во:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!