Понятие производной по направлению (вывод)

Рассмотрим в области D функцию U=U(x,y,z) и (.) M(x,y,z). Проведем из М вектор S, направляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg, где a,b,g-соотв-ие углы. На векторе S на расстоянии ∆S от его начала рассмотрим (.) М1(x+∆x, y+∆y, z+∆z). Таким образом ∆s= . Будем предполагать, что функция U(x,y,z) непрерывна имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. Полное приращение функции представим в виде: ∆U=  (1), где Е1, Е2,Е3 – стремятся к 0, при ∆s→0. Разделим все части равенства (1) на ∆s: ∆U/∆s=  (2). Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (2) можно переписать так: = (3).

Предел отношения при ∆s→0 называют производной от функции U=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается  т.е: = таким образом, переходя к пределу в равенстве (3) получим:

=  (5). Из формулы (5) следует, что зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.

Замечание: Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.

 

Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойствадокказать)

О. Вектор grad U(x,y,z)=(du/dx)|_m0*i+(du/dy)|_m0*j+(du/dz)|_m0*k,( где i,j,k – орты осей координат) называется градиентом U=U(x,y,z ) в M₀(x,y,z).

grad U(x,y,z)= =(du/dx;du/dy;du/dz)

Свойства:

1)Производная по направлению S от функции U(x,y,z) в точке M равна проекции градиента в точке М по направлению S.

Док-во

Обозначить через S ₀ единичный вектор вдоль оси S, тогда

S₀=cosa*I+cosb*j +cosg*k; du/ds=( gradU, S₀ ); (gradU, S₀)=|gadU|*|s|*cos(gradU^S₀)=Пр_s0 gradU =du/ds

Замечание:если U(x,y,z)-const-повер-т уровня, то вектор grad U = du/dx;du/dy;du/dz                                                                                                                      будет задаватся координатами вектора нормали(grad является вектором нормали в т.М к пов-ти уровня)

2)Производная в данной точки по направлению S имеет наибольшее значение, если направление S  совпадает с направлением градиенты. Это наибольшее знач. Совпадает с модулем градиенты.

Док-во

Du/ds=|gradU|*cosφ, φ=( ); max du/ds|φ₌₀ =|gradU|

3)Производная по направлению вектора касательного к поверхности уровня=0.

Док-во

 U(x,y,z)=C; du/ds=|gradU|* cosφ, φ=π/2, следовательно du/ds=0;

 

Понятие частной производной высшего порядка. Дифференциалы высшего порядка .

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y): dz/dx=df/dx=f’_x(x,y); dz/dy=f’y(x,y) даны частные производные 1-го порядка, они в общем случае являются функциями переменных х и у, поэтому можно найти частные производные 2-го порядка: d²f/dx²= f’’_xx(x,y) 

d²f/dy²= f’’_yy(x,y), d²f/dydx= f’’_yx(x,y); d²f/dxdy= f’’_xy(x,y); Производные 2-го порядка можно снова дифференцировать как по х так и по у. Получим частные производные 3-го порядка, их будет 8 т.д.вывод:частные производные n-го порядка, есть 1-ая производная от (n-1) порядка.

  Дифференциалы высшего порядка. Полным дифференциалом 2-го порядка функции z=f(x,y) называется полный дифференциал 1-го порядка.

d²Z=D(Dz)

Dz=(dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy; D²z=D((dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy)=(d/dx)(.)Dx+(d/dy)(.)Dy=d²z/dx²(Dx)²+ (d²z/dydx)*(DyDx)+ +d²z/dy²(Dy)²+(d²z/dxdy)*(DyDx)= d²z/dx²(Dx)²+2(d²z/dydx)*(DyDx)+ d²z/dy²(Dy)²

Дифференциал 3-го порядка: D³z=d(d²z)= d³z/dx³(Dx)³+3(d³z/dx²dy)*(Dx)²(Dy)+ 3(d³z/dy²dx)*(Dy)²(Dx)+ d³z/dy³(Dy)³.Вывод диф-л К-ого порядка есть D^kz=D(D^k-1z)

31. Формула Тейлора ФНП (теорема без док) (×)

Для функции одной переменной формулу Тейлора запишем в виде:

(1):∆f(x₀)=df(x₀)+(1/2!)*d²f(x₀)+(1/3!)d³f(x₀)+…+dⁿf(x₀)+R_n(x), где Rn(x)=(f⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ)*∆xⁿ⁺¹)/(n+1)-в форме Лагранджа; ζ=x₀+∆x*(н); 0< (н)<1 или R_n=O((x-x₀)ⁿ)-в форме Пиано.

Разложение (1) имеет место и для функции нескольких переменных. Рассмотрим функции U=f(x,y), непрерывную в области G вместе со своими частными производными для (n+1)-го порядка включительно. Пусть точка M_o(x_o,y_o) – некоторая внутренняя точка области G. Возьмем произвольную соседнюю точку M(x₀+∆x; y₀+∆y) из G и рассмотрим приращение функции f(x,y) в точке M_o. ∆f(x₀,y₀)=f(x₀+∆x; y₀+∆y)- f(x₀,y₀).

задачу о разложении по формуле Тейлора функции двух переменных сведем к разложению функции одной переменной.

Для этого фиксируем точку M₀(x₀+∆x; y₀+∆y). Рассмотрим произвольную точку P(x,y), лежащую на отрезке М_оМ и обозначим через t отношение длинны отрезка М_оP к М_оМ.

t=M₀P/M₀M=(x-x₀)/∆x= (y-y₀)/∆y;

x=x₀+∆xt

y=y₀+∆yt

введем функцию φ(t)=f(p)=f(x,y)=f(x₀+∆xt; y₀+∆yt)

φ(0)=f(x₀,y₀)=f(M₀)

φ(1)=f(x₀₊∆x,y₀₊∆y)=f(M)

∆f(x₀,y₀)=f(M)-f(M₀)= φ(1)- φ(0)

Т.к. функция f(x,y) имеет в области G непрерывные частные производные до (n+1) порядка включая, то φ(t) как сложения функция по t, имеет непрерывные производные по переменной t до (n+1)-ого порядка для любого t‌ принадлеж. [0,1]можно разложить функцию φ(t) по формуле Тейлора (1).

Теорема: если ф-ция U=f(x₁,x₂,…,x_n)- диф-ма (n+1) раз в некот-ой E-окрестности т.М₀(x₁⁰, x₂⁰,…, x_n⁰) то М₀(x₁⁰+rx₁, x₂⁰+rx₂,…, x_n⁰+rx_n) справедлоиво равенство

f(x₁⁰+rx₁, x₂⁰+rx₂,…, x_n⁰+rx_n)= f(x₁⁰, x₂⁰,…, x_n⁰)+dU|_m0+1/2!d²U|_m0+…+1/n!dⁿU|_m0+d⁽ⁿ⁺¹⁾U|_m0/(n+1)!(*)

(*)есть формула Тейлора от ФНП

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 421; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!