Геометрический смысл дифференциала.

Из треугольника: . Þ ,

где — геометрический смысл производной.

Дифференциал – это приращение ординаты касательной, проведенной к кривой в точке касания x₀.

Правила нахождения дифференциала.

Применение дифференциала.

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.

Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала можно вычислять значения функции , если известно Dx (приращение): Þ Þ .

Пример: Вычислить приближенно .

Введем функцию . Значение x=1,004, берем значение .

= =1, =1,004-1=0,004.

Вычислим дифференциал = = =0,002, = =1+0,002=1,002.

Производные высших порядков.

Производная высших порядков.

Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая производная. - производная третьего порядка или третья производная и т.д. - производная n-порядка.

Обозначаются: y¢, y², y²¢, y^IVили y⁽¹⁾, y⁽²⁾, y⁽³⁾, y⁽⁴⁾...

Пример: , , , , , , .

Механический смысл второй производной.

Вторая производная есть ускорение a прямолинейного движения тела в данный момент времени, выражает зависимость пройденного пути от времени t, т.е. если , то .

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Из пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую — касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: .