Арифметические операции с пределами.
Теорема 1: Пусть 
, а 
, тогда 
Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x0, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x0.
, как сумма двух б/м.
Ч.т.д.
Теорема 2: Пусть , а , тогда 
.
Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x0, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x0.
f(x)·j (x)= (A±a(x))·(B+b(x))=A·B+A·b(x)+ a(x)·B+ a(x)·b(x)=A·B, так как A·b(x) и a(x)·B и a(x)·b(x) стремятся к нулю при x®x0 по свойствам б/м. Переходя к пределу при x®x0 получаем требуемое.
Ч.т.д.
Теорема 3: Пусть , а , тогда 
, где B¹0.
Доказывается теорема аналогично теоремам 1 и 2.
Следствие: 
, где C-const.
Неопределенности. Если не применимы основные теоремы о пределах, свойства б/м и б/б, то возникают неопределенности вида: 
, 
, (0·¥), (1¥), (00), (¥0), (¥-¥).
Рассмотрим три вида неопределенности: , (¥-¥), .
Пример. Вычислить пределы.
1) 
= 
= 
2) 
3) 
от неопределенности избавимся следующим образом: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.
4) 
чтобы избавиться от иррациональности, надо умножить и поделить на сопряженное выражение.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах».
Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если
Док-во: Вычтем А из всех частей неравенства f(x)£j(x)£g(x):
f(x)-A£j(x)-A£g(x)-A.
По теореме о представлении функции, имеющей предел: f(x)=A+a(x), g(x)=A+b(x), где a(x) и b(x) являются б/м. Между двумя б/м может находиться только б/м Þ по теореме о представлении функции, имеющей предел: 
.
Ч.т.д.
Теорема 2: Пусть функция f(x)³0 и существует конечный предел 
. Тогда A³0.
Док-во: Предположим противное: A<0. Тогда окрестность точки A лежит по оси ОY ниже начала координат. Þ В этой окрестности f(x)<0, чего быть не может.
Ч.т.д.
Теорема 3: Если f(x)³g(x) и
Док-во: Из неравенства f(x)³g(x) Þ f(x)-g(x)³0. По предыдущей теореме и арифметическим операциям 
Þ A³B.
Ч.т.д.
Первый замечательный предел.
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.
| х |
| у |
| 0 |
| 1 |
| А |
| В |
| С |
| х |
т.е. принадлежит 1 четверти.
Очевидны следующие неравенства:
Вернемся к неравенствам: 
Перейдем к обратным выражениям:
Левая часть неравенства 1 
1, т.к. 
Правая часть неравенства 
По теореме «о двух милиционерах»: 
Аналогично при х<0:
Вместо x может быть любая б/м при х 
х0, тогда 
Ч.т.д.
Пример:
1) 
2) 
3) 
Второй замечательный предел.
Доказательство:
Вспомним число 
как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.
n 
х<n+1.
Перейдем к обратному выражению:
Возведем в степень:
Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:
По теореме «о двух милиционерах»:
II случай.
Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:
.
Ч.т.д.
Второй замечательный предел для функций: 
Пример:
1) 
= 
2) 
= 
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 182; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!