Производная функции одной переменной.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Дадим x₀ приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение Dy. .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x₀.

Обозначают производную , , y', , .

Замечание: Если изменить x₀, то будет изменяться и производная функции в точке x₀, следовательно, производная функции тоже является функцией.

Пример: Найти по определению производную функции y=x².

Возьмем произвольную точку x, дадим приращение Dx, x®x+Dx. Функция получит приращение Dy: = = = .

Рассмотрим предел = =

Итак, производная .

Связь между непрерывностью функции и существованием производной.

Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Док-во:

По определению производной: =

Обозначим

Тогда .

По теореме о представлении функции, имеющей предел:

, где ‒ б/м при .

при Δx→0.

По второму определению непрерывности, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, то непрерывна в точке х₀.

Ч.т.д.

Геометрический и физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

На графике функции возьмем точку М₀ с координатами (x₀,y₀) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.

x₀

x₀+

y(x₀+Dx)

y₀=y(x₀)

Определение: Касательной к графику функции

в точке M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей M₀N, когда точка N стремится к точке M₀ по графику.

С одной стороны tga является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны из прямоугольного треугольника: .

Когда точка N®M по графику, тогда приращение

аргумента Dx®0, при этом угловой коэффициент

касательной .

Переходя к пределу при ,

получаем .

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x_0.

Физический смысл производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S — координата точки на оси.

Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции.

V_мгн=S'(t).

Правила вычисления производной.

1. .

Док-во:

Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0.

Ч.т.д.

2. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: .

Док-во:

Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение . Отсюда = = .

Þ = = .

Ч.т.д.

3. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная произведения находится по формуле: .

Доказывается аналогично второму.

Следствие: Константу можно выносить за знак произведения: .

4. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная частного находится по формуле: , где v¹0.

Таблица простейших производных.

Степенные функции

Показательные функции		Логарифмические функции

Тригонометрические функции