Основные элементарные функции.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Начала анализа» 1 семестр
Раздел №3 ,4 «Предел и производная функции одной переменной»
Волгодонск
Понятие функции, способы задания функции.
Определение: Если каждому элементу множества D поставлен в соответствие единственный элемент множества E, то говорят, что задана однозначная функция действующая из D в E.
D – область определения функции. E – множество значений функции.
xÎD – аргумент функции, yÎE – значение функции.
Способы задания функции:
1) Описание.
2) Табличный.
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | 8 | 27 | 64 |
3) Графический.
Определение: Графиком функции y =f (x ) называется множество точек плоскости с координатами (x,f(x)), где xÎD(f).
4) Аналитический.
С помощью формулы y=f(x). Например: y=sin x+x2, y=2x3.
Область определения функции D(f) или D(y) – это множество тех значений аргумента x, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл.
Основные характеристики функции.
1. Возрастающие и убывающие функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. "x1<x2 выполняется f(x1)< f(x2). |
| ||||
Функция y=f(x) называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции, т.е. "x1<x2 выполняется f(x1)>f(x2). |
|
Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом интервале.
2. Четные, нечетные и периодические функции.
Функция y=f(x) называется нечетной, если область определения функции D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=-y(x).
График нечетной функции имеет симметрию относительно точки О(0;0). Пример: y=x3.
Функция y=f(x) называется четной, если область определения D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=y(x).
График четной функции имеет симметрию относительно оси Оy.
Пример: y=x2.
Функции, не являющиеся четными или нечетными, называются функциями общего вида.
Пример: y=x2+x+1 или y=x+2.
Функция y=f(x) называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если f(x+T)=f(x).
Пример: sin(x+2p)=sin x, где T=2p;
cos(x+2p)=cosx, где T=2p;
tg(x+p)=tgx, T=p;
ctg(x+p)=ctg x, T=p.
Уравнение F(x,y)=0 задает y как неявную функцию от x.
Пример: ey +x =0 ‒ неявное задание функции.
|
|
x2y3+cos(xy4)=0 – неявное задание функции.
y=x3+1/x – явное задание функции.
3. Сложная и обратная функции.
Пусть функция y=f(x) действует из множества D во множество E (D®E), а функция x=x(t) действует из множества T во множество D (T®D), тогда сложная функция y=f(x(t)) действует из T в E.
Пример: y=sin(y2+1) - функция x(t)=t2+1, функция y(x)=sin x.
Пусть y=f(x) действует D®E, обратная функция x=j(y) действует из E®D.
Пример: y=2x –3. Выразим отсюда x: x=(y+3)/2, заменим x на y, а y на x y=(x+3)/2 – обратная функция.
Основные элементарные функции.
1. Линейная функция.
y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.
2. Степенная функция.
y=xn, где n=2, 3, … | |
n - четное число, D=R, E=[0;+¥) | n - нечетное число, D=R, E=(-¥;+¥) |
Функция обратной пропорциональности: y=k/x; D=(-¥;0)U(0+¥); Е=(-¥;0)U(0+¥) | |
k>0 | k<0 |
; n=2,3,4… | |
n-четное число, D=(-¥;0)U(0+¥); E=(0;+¥) | n-нечетное число, D=(-¥;0)U(0+¥); E=(-¥;0)U(0+¥) |
3. Показательная и логарифмическая функции.
y=ax, где a >0, a ¹1. D=R, E=(0;+¥).
y=logax, где a >0, a ¹1. D=(0;+¥), E=R.
a>1 возрастающие | 0 < a < 1 убывающие | ||||
|
|
4. Тригонометрические функции.
Синус: y=sin x, D=R, E=[-1;1], T=2p.
|
|
Косинус: y=cos x, D=R; E=[-1; 1], T=2p.
Тангенс: y=tg x, D=R\{p/2 + pk}, kÎZ, E=R, T=p.
Котангенс: y=ctg x, D=R\{pk}, kÎZ , E=R, T=p.
5. Обратные тригонометрические функции.
y=arcsin x, D=[-1;1], E=[-p/2;p/2].
y=arccos x, D=[-1; 1], E=[0;p].
y=arctgx, D=R, E=(-p/2;p/2).
y=arcctg x, D=R, E=(0; p).
6. Модуль.
y=|x|= , D=R, E=[0,+¥).
О |
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 163; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!