Последовательность. Предел последовательности.
Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).
Задают числовую последовательность с помощью общего члена xn.
{xn} - числовая последовательность с общим членом xn.
Например : {xn}={2;3;4;5;…}, xn=n+1;
{an}={1;1/2;1/3;…}, an=1/n ;
{bn}={-1;1;-1;1,…}, bn=(-1)n.
1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {xn }, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от 
, начиная с которого выполняется неравенство |xn–a|<e.
Û" e>0 $ N( ): " n>N, выполняется |xn–a|<e.
(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.
2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {xn } при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.
Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {xn} с общим членом xn= 
, является число a=0, то есть 
.
Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство
| – 0|<e. " e>0 $ N: "n>N выполняется | - 0|<e. Снимаем модуль –0<e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> 
. В качестве N берется целая часть 
: N=[ ].
|
|
|
3) 
, если "A>0 $N: "n>N выполняется xn>A.
, если "A<0 $N: "n>N выполняется xn<A.
, если "A>0 $N: "n>N выполняется |xn| > A.
Сходящиеся и ограниченные последовательности.
Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.
- число.
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех членов последовательности xn 
M.
Определение: Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех членов xn³m.
Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т.е. $ число A>0 такое, что для всех членов последовательности |xn|£A.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Связь между ними.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |xn|<e.
.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного числа А, найдется номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство |xn|>A.
|
|
|
.
Теорема: Бесконечно малые (б/м) и бесконечно большие (б/б) последовательности взаимообратные.
Док-во:
1) б/б есть обратная величина для б/м.
Пусть {xn} – б/м при n®¥. По определению: " 
> $N: "n>N Þ |xn|<e.
Перейдем к обратным величинам: 
. Обозначим 
. Если e – б/м, то А – б/б. Тогда 
, что означает из определения, что 
– б/б.
2) б/м есть обратная величина для б/б.
Пусть {xn} ‒ б/б при n®¥. По определению: "A>0 $N: "n>N Þ |xn| > A.
Перейдем к обратным величинам: 
. Обозначим 
. Если А – б/б, то e – б/м. Тогда , что означает из определения, что ‒ б/м.
Ч.т.д.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 163; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!