Задание 13. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:

Замечание. При вычислении длины кривой, заданной параметрическими уравнениями, нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.

Пример. Вычислить длину дуги астроиды, заданной уравнениями:

Решение.

Вычислим производные функций:

Вычислим подынтегральную функцию:

Следовательно, длина дуги (ед.).

Задание 14. Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями в декартовых координатах.

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где - непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело вращения (рис.7), объем которого вычисляется по формуле:

Рис.7

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , , , где - непрерывная функция, вращать вокруг оси ординат, то получим тело вращения (рис.8), объем которого вычисляется по формуле:

Рис.8

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где (рис.9), то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:

Рис.9

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс и кривой вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.10 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .

Рис.10

Точки пересечения кривой с осью : .

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

(куб.ед.).

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью ординат и кривой вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.11 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .

Рис.11

Кривая — это парабола с вершиной (-4;2), которая пересекает ось ординат в точках

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

(куб. ед.).

Пример. Фигура, ограниченная линиями и ,вращается вокруг . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.12 изображена фигура, которая вращается вокруг оси .

Рис.12

Точки пересечения параболы и прямой .

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения вычислим по формуле:

(куб. ед.).

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задание 15. Сходимость несобственного интеграла.

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда очевидно, что при любом имеет смысл интеграл . Будем расширять промежуток , увеличивая . Тогда, если существует предел: , то этот предел называется несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку и обозначается: .