Задание 6. Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть — рациональная функция своих аргументов.

1) Интегралы вида , где m и n - целые числа.

Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m, n есть хотя бы одно нечетное. Тогда отделяем от нечетной степени один сомножитель и выражаем с помощью формулы оставшуюся функцию в четной степени. Вводим новую переменную и приходим к табличному интегралу.

Пример. .

Решение.

б) Оба числа m, n- четные неотрицательные.

Применим формулы:

Пример. .

Решение.

2) Интегралы вида , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.

Делается замена: .

При этом .

Пример. .

Решение.

3) Интегралы вида , где и входят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.

Делается универсальная тригонометрическая подстановка: . В результате сводится к интегралу от рациональной дроби.

При этом .

Пример. .

Решение.

Приводим к общему знаменателю подынтегральную функцию. А поскольку дроби равны и их знаменатели равны, то равны и числители:

Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:

Получаем:

Задание 7. Интегрирование иррациональных выражений.

Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, а, следовательно, могут быть выражены через элементарные функции. Пусть R(u) — рациональная функция переменной u. Возможны несколько случаев.

1) Интегралы вида: и , где и – рациональные функции от и , соответственно, а — натуральное число.

С помощью подстановок и указанные интегралы сводятся к интегрированию рациональных функций от t и z, соответственно.

Пример. .

Решение. Сделаем замену , откуда , . В результате получим:

Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:

Таким образом, , где .

Пример. .

Решение.

Полагая , имеем , , .

Откуда:

Таким образом, мы пришли к интегралу от рациональной функции переменной t, представленной неправильной дробью. Интегрируем ее методом выделения целой части:

Таким образом, , где .

Пример. .

Решение. Сделаем замену , откуда , , .

Имеем:

, где .

2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.д. или , и т.д.

Сводим к интегрированию рациональных функций от переменных tи z с помощью подстановок и соответственно, где k - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, p, …

Пример. .

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится на 2 и на 3) равно 6. Поэтому произведем замену переменной . Тогда , , , .