Задание 4. Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где 
и 
— непрерывно дифференцируемые функции от 
. С помощью этой формулы нахождение интеграла 
сводится к отысканию другого интеграла 
. Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
Применяется формула в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: 
, 
, 
.
В этом случае в качестве выбирается многочлен 
.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: 
, 
, 
, 
, 
.
В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.
.
3) Интегралы вида: 
, 
.
Метод интегрирования по частям применяется два раза до появления исходного интеграла. Оба раза в качестве берем либо 
, либо тригонометрическую функцию. Получаем уравнение относительно исходного интеграла и решаем его.
|
|
|
Пример. 
.
Решение. Это интеграл вида: (3 случай). Поэтому в качестве выберем .
.
Обозначим исходный интеграл 
.
Получим уравнение:
;
;
.
Таким образом, 
.
В некоторых случаях метод интегрирования по частям надо применять неоднократно.
Пример. 
.
Решение.
.
Задание 5. Интегрирование рациональных дробей.
Выражения вида 
; 
, где а - вещественное, k,l - натуральные числа, а квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.
Известна основная теорема алгебры: любой многочлен 
степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:
,
где 
- число; 
.
Дроби вида 
, где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.
Дробь 
называется правильной, если 
(m и nстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно). Если 
, дробь называется неправильной.
Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: 
.
Теорема. Любая правильная рациональная дробь 
может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.
Эта сумма строится следующим образом в два этапа:
|
|
|
1) каждый простейший множитель вида 
порождает следующую сумму из 
слагаемых:
;
2) каждый сомножитель вида 
порождает следующую сумму из 
слагаемых:
.
В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:
.
Пример. Разложить дробь 
на простейшие дроби.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель):
.
Разложим знаменатель на простейшие сомножители:
.
Тогда
;
.
Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители:
.
Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях 
, следовательно, можно записать следующую систему уравнений:
.
Решая ее, находим: 
.
Окончательно получим: 
.
Из разложения следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей:
I. 
;
II. 
;
III. 
.
Этот интеграл вычисляется методом выделения полного квадрата.
IV. 
, квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Первый интеграл берётся заменой:
,
второй интеграл вычисляется по формуле:
|
|
|
В результате получили формулу, в которой подынтегральное выражение имеет степень на единицу меньше. К нему вновь применяем ту же формулу пока не получим в знаменателе степень равную единице.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
.
Составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
.
Отсюда 
.
Следовательно, 
.
Теперь вычислим исходный интеграл:
.
Пример. 
.
Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: 
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Пример. 
.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:
.
Теперь вычислим интеграл:
.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: 
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 197; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!