Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция называется первообразной функции на некотором интервале , если для всех значений . Если — первообразная , то очевидно, что бесконечное множество всех первообразных , отличающихся только константой, также будет первообразной . Множество всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . При этом называется подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования.

Согласно вышеприведенному:

где — некоторая первообразная функции ; — произвольная постоянная.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) .

2) .

3) , где .

4) .

5) .

Таблица основных неопределенных интегралов:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)

Основные методы интегрирования.

Задание 1. Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.

Пример. .

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:

Пример. .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Следовательно, используя формулы 7 и 8 таблицы интегралов, получим:

Пример. .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки, и воспользуемся формулами 2 и 4 таблицы интегралов:

Задание 2. Интегралы с квадратным трехчленом.

Интегралы с квадратным трехчленом - это интегралы вида: , , .

Для вычисления этих интегралов необходимо выделить в квадратных трехчленах знаменателей полный квадрат. В первых двух случаях квадратный трехчлен перепишется в виде: , в третьем случае он будет иметь вид: . В результате интегралы сводятся к табличным интегралам.