Удаление периодической зависимости
Как отмечалось выше, периодическая составляющая для данного лага k может быть удалена взятием разности соответствующего порядка. Это означает, что из каждого i-го элемента ряда вычитается (i-k)-й элемент. Имеются два довода в пользу таких преобразований.
Во-первых, таким образом можно определить скрытые периодические составляющие ряда. Напомним, что автокорреляции на последовательных лагах зависимы. Поэтому удаление некоторых автокорреляций изменит другие автокорреляции, которые, возможно, подавляли их, и сделает некоторые другие сезонные составляющие более заметными.
Во-вторых, удаление сезонных составляющих делает ряд стационарным, что необходимо для применения АРПСС (Авторегрессионное проинтегрированное скользящее среднее) и других методов, например, спектрального анализа.
Процедуры оценки параметров и прогнозирования, предполагают, что математическая модель процесса известна. В реальных данных часто нет отчетливо выраженных регулярных составляющих. Отдельные наблюдения содержат значительную ошибку, тогда как вы хотите не только выделить регулярные компоненты, но также построить прогноз. Методология АРПСС, разработанная Боксом и Дженкинсом (1976), позволяет это сделать.
Два основных процесса
Процесс авторегрессии. Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:
|
|
|
,
где 
- константа (свободный член), 
- параметры авторегрессии.
Как видно, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайное воздействие, 
) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.
Требование стационарности
Заметим, что процесс авторегрессии будет стационарным (среднее, дисперсия и автокорреляция примерно постоянны во времени) только, если его параметры лежат в определенном диапазоне. Например, если имеется только один параметр, то он должен находиться в интервале 
. В противном случае, предыдущие значения будут накапливаться и значения последующих xt могут быть неограниченными, следовательно, ряд не будетстационарным. Если имеется несколько параметров авторегрессии, то можно определить аналогичные условия, обеспечивающие стационарность.
Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:
,
где 
- константа, 
- параметры скользящего среднего.
Другими словами, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты (случайное воздействие, ) в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.
|
|
|
Обратимость. Не вдаваясь в детали, отметим, что существует "двойственность" между процессами скользящего среднего и авторегрессии. Это означает, что приведенное выше уравнение скользящего среднего можно переписать (обратить) в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот. Это так называемое свойство обратимости. Имеются условия, аналогичные приведенным выше условиям стационарности, обеспечивающие обратимость модели.
Модель АРПСС
Модель авторегрессии и скользящего среднего. Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом (1976) включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Именно, имеется три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРПСС (p, d, q). Например, модель (0, 1, 2) содержит 0 (нуль) параметров авторегрессии (p) и 2 параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.
Идентификация. Как отмечено ранее, для модели АРПСС необходимо, чтобы ряд был стационарным, это означает, что его среднее постоянно, а выборочные дисперсия и автокорреляция не меняются во времени. Поэтому обычно необходимо брать разности ряда до тех пор, пока он не станетстационарным (часто также применяют логарифмическое преобразование для стабилизации дисперсии). Число разностей, которые были взяты, чтобы достичь стационарности, определяются параметром d. Для того чтобы определить необходимый порядок разности, нужно исследовать график ряда и автокоррелограмму. Сильные изменения уровня (сильные скачки вверх или вниз) обычно требуют взятия несезонной разности первого порядка (лаг=1). Сильные изменения наклона требуют взятия разности второго порядка. Сезонная составляющая требует взятия соответствующей сезонной разности. Если имеется медленное убывание выборочных коэффициентов автокорреляции в зависимости от лага, обычно берут разность первого порядка. Однако следует помнить, что для некоторых временных рядов нужно брать разности небольшого порядка или вовсе не брать их. Заметим, что чрезмерное количество взятых разностей приводит к менее стабильным оценкам коэффициентов.
|
|
|
На этом этапе необходимо решить, как много параметров авторегрессии (p) и скользящего среднего (q) должно присутствовать в эффективной и экономной модели процесса. (Экономность модели означает, что в ней имеется наименьшее число параметров и наибольшее число степеней свободы среди всех моделей, которые подгоняются к данным). На практике очень редко бывает, что число параметров p или q больше 2.
|
|
|
Оценивание параметров и прогноз. Следующий, после идентификации, шаг (Оценивание) состоит в оценивании параметров модели. Полученные оценки параметров используются на последнем этапе (Прогноз) для того, чтобы вычислить новые значения ряда. Процесс оценивания проводится по преобразованным данным (подвергнутым применению разностного оператора). До построения прогноза нужно выполнить обратную операцию (интегрировать данные). Таким образом, прогноз методологии будет сравниваться с соответствующими исходными данными.
Анализ остатков. Если остатки систематически распределены (например, отрицательны в первой части ряда и примерно равны нуля во второй) или включают некоторую периодическую компоненту, то это свидетельствует о неадекватности модели. Анализ остатков чрезвычайно важен и необходим при анализе временных рядов. Процедура оценивания предполагает, что остатки не коррелированы и нормально распределены.
Ограничения. Следует напомнить, что модель АРПСС является подходящей только для рядов, которые являются стационарными (среднее, дисперсия и автокорреляция примерно постоянны во времени); для нестационарных рядов следует брать разности. Рекомендуется иметь, как минимум, 50 наблюдений. Также предполагается, что параметры модели постоянны, т.е. не меняются во времени.
Тематика контрольных работ
На контрольные работы выносятся следующие темы:
· Расчёт коэффициентов корреляции
· Оценка применимости регрессионного анализа
· Получение регрессионных функций линейной зависимости
· Оценка надежности регрессионных коэффициентов по критерию Фишера
· Оценка надежности регрессионных коэффициентов по критерию Стьюдента
· Нахождение коэффициентов эластичности Y по X при заданном значении X
· Вычисление доверительных интервалов для коэффициентов регрессии
· Построение графиков регрессионной функций и диаграмм рассеяния
· Оценка ожидаемого среднее значение признака Y по полученному уравнению линейной регрессии
Конкретные варианты контрольных работ приведены ниже, в разделе III.2. «Методические рекомендации по выполнению контрольных работ и варианты контрольных работ».
ВОПРОСЫ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
1. Эконометрика и ее связь с экономической теорией.
2. Две переменные: меры изменчивости связи.
3. Метод наименьших квадратов. Прямолинейный характер связи между двумя экономическими факторами.
4. Коэффициент детерминации 
.
5. Основные понятия теории вероятностей: функция распределения, плотность вероятности.
6. Основные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия.
7. Основные статистические распределения.
8. Основные понятия математической статистики.
9. Проверка гипотез.
10. Условия Гаусса-Маркова.
11. Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии.
12. Нормальные линейные модели с несколькими объясняющими переменными.
13. Проверка статистической значимости коэффициентов множественной линейной регрессии.
14. Проблема мультиколлинеарности.
15. Определение статистической значимости коэффициента детерминации 
.
16. Гетероскедастичность и ее последствия.
17. Тест Голдфелда-Квандта.
18. Тест Глейзера.
19. Коррекция статистических выводов при гетераскедастичности. Взвешенный метод наименьших квадратов.
20. Автокорреляция ошибок и ее последствия.
21. Статистика Дарбина-Уотсона.
22. Коррекция статистических выводов при автокорреляции.
23. Нелинейная связь.
24. Процедура оценивания параметров регрессии при нелинейной связи.
25. Понятие временного ряда
26. Стационарные временные ряды и их основные характеристики
27. Основные компоненты временного ряда.
28. Анализ тренда.
29. Анализ сезонности.
30. Процесс авторегрессии.
31. Процесс скользящего среднего.
32. Модель АРПСС.
33. Прогнозирование экономических показателей, основанное на использовании моделей временных рядов.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 190; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!