Теоретичні відомості про більярди в многокутниках та багатогранниках

Задачі на побудову траєкторій в многокутниках зводимо до побудови обмоток.

Перш за все опишемо ще один подход до більярдів, що дає можливість будувати пучки - з перескакуванням. Хай Q — фіксований многокутник. Виберемо на площині напрям відліку кутів—скажімо, задаватимемо напрям v на Q кутом φ, відлічуваним від напряму сторони АВ многокутника Q проти годинникової стрілки до напряму v. Кут φ вимірятимемо в радіанах, причому так, що 0<φ<2п . Для кожного числа φ між 0 і 2π готуємо свій екземпляр багатокутника Q, на якому намалюємо пучок паралельних траєкторій з напрямом φ. Цей багатокутник Q з намальованими на ньому траєкторіями позначимо Q(φ) таким чином, ми «запасли» нескінченний набір екземплярів Q(φ) многокутника Q. Наклавши їх один на одного в порядку зростання. ф, отримаємо призму висоти 2я, в підставі якій лежить багатокутник Q.

Розглянемо кулю, що «скаче» з одного многокутника на інші многокутники за наступним правилом. Якщо в початковий момент часу куля знаходилася на багатокутнику Q(φ₁), то він рухається по своїй траєкторії до тих пір, поки не потрапить на одну із сторін, скажемо CD. Якби куля була більярдна, то він відскочив би від сторони CD за законом пружного віддзеркалення і став би рухатися під новим напрямом φ₂. Наша ж кулька, що скаче, перескакує з боку CD многокутника Q(φ₁) в ту ж точку тієї ж сторони CD іншого многокутника Q(φ₂) , де φ₂ було визначене вище із закону пружного віддзеркалення, і рухається по намальованій на Q(φ₂) траєкторії, Дійшовши до сторони KL багатокутника Q(φ₂) , кулька перескакує в ту ж крапку на тій же стороні KL наступного многокутника Q(φ₃), де φ₃ — напрям, під яким рухається більярдний шар після зіткнення із стороною КL, налетівши на неї під напрямом φ₂. І так далі як зображено на малюнку.

Якщо накласти всі ці багатокутники один на одного, то відрізки траєкторії, що скаче, дадуть траєкторію більярда в багатокутнику Q.

Многокутники Q, всі кути яких вимірні з π називаються раціональними.

Більярд в будь-якому раціональному многокутнику зводиться до обмоток кренделя – сфери з ручками, який отримується в результаті вищеописаних склейок. На кренделі бувають неперіодичні траєкторії і заповнюється всюди щільно лише частина кренделя. (Доведення основане на теоремі Якобі).

Доведена теорема, що в будь-якому раціональному многокутнику існують періодичні траєкторії.

Тепер перейдемо до наступного розділу курсової роботи, де продемонстровано, як викладені теоретичні відомості застосовуються на практиці.

Практичне застосування теорії математичних більярдів

Практичні задачі, що розв’язуються застосуванням правил побудови більярдних траєкторій

Ось деякі олімпіадні задачі, що дуже витончено розв’язуються за допомогою «більярдів». Мова йде про «переливання», які, здавалось би, не мають нічого спільного з більярдами.

Є два сосуди ємкістю 7 і 11 літрів і велика бочка, що наповнена водою. Як за допомогою цих двох сосудів відміряти рівно два літри? На сосудах не можна робити засічок, не можна нахиляти, щоб відміряти долі літра.

Запропонована задача вирішується або алгебраїчним методом, або методом спроб та помилок.

Цю задачу можна з легкістю розв’язати, викресливши більярдну траєкторію кулі, що відбивається від бортів ромбічного столу. Межі таких столів зручніше за все малювати на папері, на якому нанесена гратка з однакових рівносторонніх трикутників. В наведеній задачі сторони столу мають бути завдовжки 7 і 11 одиниць. По горизонталі відкладено кількість води в 11-літровому сосуді в будь-який момент часу, а по вертикалі – та ж величина для 7-літрового сосуда.

Як же користуватися діаграмою? Шар знаходиться в лівій нижній вершині в точці О. Він буде рухатися вздовж нижньої основи ромба до тих пір, поки не досягне правої бокової сторони в точці 11. Це значить, що 11-літровий сосуд наповнений верхи, а 7-літровий порожній. Відбившись пружно від правого борту, куля покотитися вгору і вліво і вдариться в верхній борт в точці з координатами 4 по горизонталі і 7 по вертикалі. Це значить, що в 11-литровому сосуді залишилось лише 4 літри води, а 7 літрів з нього перелили в менший сосуд.

Простежачі подальший рух кулі і записуючи всі етапи його руху до тих пір, поки він не попаде в точку 2 верхнього борта, ви отримаєте відповідь і взнаєте, в якій послідовності маєте виконувати переливання, щоб виміряти 2 літри води. Всі 18 переливань зображені схематично на малюнку, що приведено нижче.

Похилі стрілочки кажуть про те, що вода переливається з одного сосуду в інший, а вертикальні значать, що або вода цілком виливається з меншого сосуду назад до бочки, або більший сосуд треба наповнити до країв.

Чи є це рішення найкоротшим? Ні, існує другий шлях, коли воду спочатку наливають в 7-літровий сосуд. На діаграмі це відповідає тому, що куля з точки 0 котитися вгору вздовж лівого борту до тих пір, поки не вдариться в верхній борт. Намалював траєкторію більярдної кулі, можна переконатися, що точка 2 досягається цього разу за 14 віддзеркалень від борта. Отриманий розвязок з 14 переливаннями вже є найкоротшим.

Метод більярдної кулі можна застосувати до будь-якої задачі про переливання рідини за допомогою не більш, ніж трьох сосудів.

Ось і стара головоломка з трьома сосудами, що приписують ще Нікола Фонтана, італійському математику XVI століття. Восьмилітровий сосуд до країв наповнений водою. За допомогою порожніх сосудів ємкістю 3 і 5 літрів воду треба порівну розлити в два великі сосуди. Діаграма для цієї задачі – ромбічний стіл розміром 3´5. Головна діагональ ромба, що поділена похилими прямими на 8 частин, відноситься до 8-літрового сосуду.

Як і в попередній задачі, більярдна куля починає рухатися з точки 0. За допомогою намальованої траєкторії отримаємо розв’язок з мінімальною кількістю переливань, що дорівнює 7.

Якщо об’єми двох менших сосудів не мають спільного дільника (взаємно прості), а об’єм третього сосуда більше або дорівнює сумі об’ємів двох менших, то за допомогою цих сосудів можна виміряти будь-яку цілу кількість літрів, починаючи з 1 літра і закінчуючи об’ємом середнього сосуду.

Маючи, наприклад, сосуди місткістю 15,16 і 31 літр можна виміряти будь-яку кількість води від 1 до 16 літрів. Така процедура неможлива, якщо об’єми двох менших сосудів мають спільний дільник. Коли об’єм більшого сосуда менше суми об’ємів двох інших, виникають нові обмежування. Якщо, наприклад, об’єми сосудів дорівнюють 7,9 і 12 літрів, то в ромбічного столу треба відсікти нижній правий кут. Тоді шар зможе потрапити в будь-яку точку від 1 до 9, за виключенням точки 6. Не дивлячись на те, що 7 і 9 взаємно прості, виміряти 6 літрів води виявляється неможливим із-за того, що найбільший сосуд має надто маленький об’єм.

Узагальнення вказаного методу на випадок чотирьох сосудів зводиться до руху більярдної кулі в об’ємній (тетраедричній) області.

Розгляну інший тип елементарних геометричних задач, що відносяться до більярдів. В них вимагається знайти замкнену траєкторію більярдної кулі в даному многокутнику, або знайти шлях більярдної кулі, що попадає через задану кількість ударів з однієї фіксованої точки всередині многокутника до іншої. Для рішення цих задач дуже зручним є метод «дзеркального відбиття» або «випрямлення» більярдної траєкторій, суть якого наводилась в теоретичній частині.

Продемонструю метод випрямлення на наступних прикладах.

1. Нехай на прямокутному більярдному столі знаходиться одна куля; під яки кутом його необхідно направити з точки А, щоб він після заданої кількості відбиттів від бортів попав в точку В (наприклад в лузу?)

Для розв’язання зобразимо прямокутник (початковий більярд) симетрично відносно всіх його сторін; всі отримані так5им чином прямокутники знов відобразимо відносно всіх його сторін, і так далі, до нескінченності. В результаті всіх зроблених відбиттів траєкторія кулі «розпрямляється».

Якщо отримана «випрямлена траєкторія» проходить через образ точки В в одному з прямокутників, то траєкторія кулі в початковому прямокутнику пройде через В. Тому, для того щоб пустити кулю з точки А так, щоб вона після заданої кількості відбиттів о стінки прямокутного більярду попала в точку В, необхідно провести такий відрізок з початком в точці А і кінцем в одному з образів точки В, щоб він перетнув цю ж саму кількість разів лінії грат «клітчатої площини». Зробивши зворотню процедуру «складання» проведеного відрізка, перетворимо його в шукану траєкторію в початковому більярді.

2. Роздивлюсь більярд в рівносторонньому трикутнику. Оскільки однаковими рівносторонніми трикутниками можна без щілин і перекриттів замостити всю площину, і тут можна застосувати процедуру «випрямлення більярдної траєкторії».

Траєкторія більярдної кулі вирішує наступну відому задачу: знайти найкоротший шлях, по якому має повзти бджола з точки А в точку В всередині рівностороннього трикутника, щоб спочатку насолодитися медом на одній стороні трикутника, потім цукром – на другій стороні, і варенням – на третій. (Покладають, що кожна сторона повністю змащена відповідним речовиною)

Відповідь приведена на малюнку нижче.

Легко побачити, що інший шлях, що йде потрібним способом від А до В, після дзеркальних відбиттів перетворюється в шлях з точки а в точку В''', довжина якої більша, ніж відрізок АВ''', і тому не є найкоротша.

3. Виникає два питання, пов’язаних з узагальненням плоского більярду на випадок простору: чи існують замкнені більярдні траєкторії всередині куба, що є просторовим аналогом квадрата, і тетраедра – просторового аналогу рівностороннього трикутника?

В одній з численних статей о Льюісє Кероллє (відомий письменник був математиком за фахом) є згадка про більярд всередині куба. Ця задача не є «надуманою». Реальні молекули повітря в кубічній кімнаті як раз і уявляють собою «більярдні кулі». Що стикаються одна з одною і з стінами кімнати за законом пружного удару. До кубу теж можна застосувати метод «випрямлення траєкторії».

Провівши 5 віддзеркалень від граней куба ми отримали шукану замкнену траєкторію. Якщо згорнути куби, зробивши зворотні віддзеркалення, отримаємо замкнену більярдну траєкторію з 6 ланок. (Ця траєкторія відома хімікам-органікам як «шестикутник в формі крісла». Вона дуже часто зустрічається у вуглеводних сполученнях).

Для знаходження замкненої більярдної траєкторії в тетраедрі роблять те ж саме, як і у випадку куба.

Застосування математичних законів і методів більярдів, що наводились в теоретичному розділі для розвязання задач більярдної гри. Пропонується для використання на факультативах з математики, на нетрадиційних уроках та як ілюстрації до методів побудови траєкторій на прямокутному столі.

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 264; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!