Випрямлення траєкторії в довільному многокутнику
Нехай Р1Р2Р3… - довільна не особлива траєкторія більярда в многокутнику Q=А1А2А3..Аn. Побудуємо по цій ламаній спеціальну пряму. А саме, відобразимо наш многокутник Q разом з ламаною Р2Р3Р4… відносно тієї сторони многокутника, на якій лежить точка Р2 (першу ланку ламаної Р1Р2 ми не чіпаємо). Згідно закону віддзеркалення, відрізок Р2Р3 симетричний відрізку Р2Р3 є продовженням відрізку Р1Р2 і перший шматок ламаної Р1Р2Р3Р4… - Р1Р2Р3 – нами випрямлений. Тепер відобразимо другий (отриманий з Q при першому віддзеркаленні) багатокутник Q1 щодо тієї його сторони, на якій лежить наступна точка зламу Р3′. Отримаємо наступний багатокутник Q2, і образ ланки Р3′ Р4′ при новому віддзеркаленні буде, знову-таки, продовженням відрізка P1P2P'. Продовжуючи так і далі, ми можемо будь-який шматок ламаної P1P2P3P4- . . «випрямити», тобто послідовними віддзеркаленнями перетворити в відрізок прямої P1P2P3'P4'
Звичайно, для різних траєкторій прийдеться робить різні послідовності випрямляючих віддзеркалень. Проте якщо ми розглядаємо більярд в прямокутнику, ми можемо із самого початку з допомогою віддзеркаленні замостити всю площину прямокутниками, рівними даному, отримавши грати з прямокутників. Намалювавши на цій площині довільний промінь, що не проходить ні через одну з вершин отриманих прямокутників, ми можемо за допомогою процедури, зворотної описаної, «скласти» цей промінь в траєкторію більярда в початковому прямокутнику ABCD. При такому «складанні» ґрат прямокутників в початковий прямокутник ABCD в кожну точку М прямокутника ABCD потрапляє нескінченно багато точок Мm,n площини— саме всі ті крапки які виходять з М описаними вище віддзеркаленнями.
|
|
|
Якщо траєкторія, що виходить з точки М під кутом α до сторони AB, періодична, то це значить, що після випрямляння з цієї траєкторії вийде пряма, що проходить через М і через одну з крапок Мm,n. Якщо нумерувати крапки Мm,n індексами m i n, то крапка Мm0,n0 повинна бути такою, що m0 та n0 — парні числа. Саме (і лише) в цьому випадку більярдна куля проходить через ту ж крапку М під колишнім кутом α: номери m0 та n0 показують, скільки потрібне зробити віддзеркалень щодо вертикальних і горизонтальних сторін прямокутників, щоб отримати з крапки Мm0,n0 крапку М; при цьому непарне число віддзеркалень міняє напрям, парний же — не міняє.
Доведемо, що неособлива траєкторія, що виходить з крапки М прямокутника ABCD під кутом α до сторони AВ, періодична в тому і лише б тому випадку, коли тангенс її кута нахилу k=tga вимірний з відношенням сторін а1/а2 прямокутника ABCD.
Дійсно, тільки що було з'ясовано, що періодичні ті і лише ті траєкторії, які (після випрямлення) відповідають прямим, що йдуть з точки М в одну з точок виду М2m,2n. Зауважу, що точка М2m,2n отримується з М зсувом на вектор 2m·АВ + 2·AD (*) так, що ΔМ М2m,2n К має катети з довжинами MK=2ma1 і М2m,2nК=2na2. Таким чином k=tgα=2ma1/2na2=m/n ·a2/a1, тобто k вимірне з a2/a1. Навпаки, якщо число k вимірне з a2/a1, тобто k= m/n ·a2/a1, то будь-яка пряма, що виходить з точки М з тангенсом кута нахилу k, проходить через точку, що отримується з М зсувом на вектор (*), тобто через точку М2m,2n .Якщо ця пряма не проходить через вершини прямокутників, то їй відповідає неособлива періодична траєкторія, що й потрібне було довести.
|
|
|
Зазначу, що в даному випадку ми все-таки можемо продовжити і будь-яку особливу, тобто таку, що закінчується в одній з вершин прямокутника, - траєкторію за цю вершину: ніщо не заважає на площині, замощеній нашими прямокутниками, продовжити, наприклад, МС за вершину С і вважати тим самим, що, потрапивши у вершину С, більярдна куля вилітає з неї по тому ж шляху, по якому він туди залетів - після відповідних віддзеркалень промінь СМ′ поєднується з променем СМ. Таким чином, у разі більярда в прямокутнику можна вважати, що рух по будь-якій траєкторії продовжується необмежено в часі (наприклад, двічі прохідна діагональ АС прямокутника — це періодична траєкторія).
|
|
|
З доведеного твердження виходить:
Теорема 1. Якщо тангенс кута нахилу до траєкторій вимірний з числом k0=a2/a1 то незалежно від початкового положення більярдної кулі його рух буде періодичним; в противному випадку траєкторія неперіодична.
З допомогою теореми 1 можна по початковій ланці траєкторії кулі визначати, чи є ця траєкторія періодичної або неперіодичної. Для цього треба знайти відношення довжин сторін прямокутника або, що те ж саме, тангенс кута нахилу діагоналі прямокутника і тангенс кута, під яким запущена кулька, і поділити перше число на друге: якщо в результаті вийде раціональне число, то траєкторія періодична, якщо ж — ірраціональне, то неперіодична. Звідси слідує також і та обставина, що для фіксованого початкового вектора швидкості кулі траєкторія буде періодичною або неперіодичною незалежно від його початкового положення на прямокутному столі. Тому, якщо запустити паралельно один одному відразу декілька більярдних шарів, вони або одночасно опишуть періодичні траєкторії, або ніколи не пройдуть по своєму старому сліду. Послідовність віддзеркалень цих куль від бортів більярда буде різною, якщо вони знаходяться достатньо далеко один від одного. Якщо ж кулі знаходяться достатньо близько, то послідовність бортів, від яких вони віддзеркалюються, буде однією і тією ж. Якщо першу ланку траєкторії однієї більярдної кулі оточити паралельними ланками цілого сімейства траєкторій інших куль, то отримані траєкторії, у разі, коли вони періодичні, заповнять самоперетинаючийся «коридор». Таким чином, знаючи одну періодичну траєкторію, ми паралельним зсувом її ланок одержуємо іншу періодичну траєкторію.
|
|
|
Задача а) Довести, що у всіх неособливих «паралельних періодичних траєкторій» в прямокутнику рівне число ланок і рівні довжини б) Довести, що в прямокутнику існують скільки завгодно довгі періодичні траєкторії.
Рішення. Це виходить з розгляду випрямлених траєкторій, що зображаються на ґратах прямокутників рівними паралельними відрізками.
Як же поводиться на прямокутному столі неперіодична більярдна траєкторія? В крузі і еліпсі неперіодична траєкторія не заходила в деякі ділянки — в концентричний круг і, відповідно, в софокусний еліпс (або в криволінійні сегменти софокусної гіперболи), проте заповнювала усюди щільно кільце між їх межами. В прямокутнику вона вже заходить в усі його ділянки і заповнює його усюди щільно, В цьому і полягає основний результат про неперіодичні траєкторії в прямокутному більярді.
Теорема 2. Якщо k/k0 — ірраціональне число, то будь-яка траєкторія з кутовим коефіцієнтом k усюди щільно заповнює весь прямокутник, тобто перетинає будь-який (скільки завгодно малий) круг, що лежить усередині нього.
Таким чином, якщо точкову більярдну кулю запустити з будь-якого положення М в будь-якому напрямі α такому, що число tgα/tgφ ірраціональну, де φ — кут нахилу діагоналі до горизонтальної сторони, то він рано чи пізно зіткнеться з іншим, вже неточковою більярдною кулею (диском) N, куди б ми його ні поставили і скільки б малий він був! Отже, гравцям (у разі відсутності тертя) не потрібно особливо старатися, щоб потрапити в іншу кулю (або лузу!), треба лише мати терпіння і час, щоб дочекатися потрібного зіткнення.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 144; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!