Основні методи побудов траєкторій в трикутниках
Мінімізація периметра
Якщо межа більярдного столу має точки зламу, то метод Біркгофа перестає «працювати» — вершини вписаного багатокутника найбільшого периметра можуть потрапити в кутові точки межі. Наприклад серед трикутників, вписаних в даний трикутник АВС, найбільший периметр має сам ΔАВС! Як же шукати періодичні більярдні траєкторії в трикутнику?
Для гострокутного трикутника вихід полягає в тому, щоб замінити максимальний периметр на мінімалъний. Впишемо в даний трикутник АВС трикутник ХYZ якнайменшого периметра з вершинами на сторонах АВ, BC і СА. Cтверджуємо, що ХУZ — більярдна траєкторія.
Задача. Довести, що трикутник, вершини якого — підстави висот даного трикутника АВС, є більярдною траєкторією в ΔАВС.
Задача показує, як побудувати триланкову більярдну траєкторію в гострокутному трикутнику.
Ідея розглядати вписаний трикутник якнайменшого периметра застосовна і до фігур, обмежених декількома гладкими кривими. Нажаль, цей спосіб не спрацьовує для тупокутних трикутників — для них вписаний трикутник якнайменшого периметра вироджується у висоту, опущену з вершини тупого кута. Більш того, більярд в тупокутному трикутнику не має триланкових періодичних траєкторій. Проте це не означає, що ідея мінімізації периметра даремна для побудови періодичних більярдних траєкторій в тупокутних трикутниках; її треба лише з'єднати з методом випрямляння.
|
|
|
Механічна інтерпретація:
Надінемо на кожну із сторін гострокутного трикутника АВС по малому колечку і пропустимо через них натягнуту резиночку ХУZ (див. мал. Резиночка прагне стиснутися, тому колечки займуть положення у вершинах вписаного в АВС трикутника ХУZ якнайменшого периметра. Розглянемо колечко на стороні АВ. Оскільки воно не рухається уздовж сторони трикутника, рівнодіюча сил натягнень Т1 і Т2 перпендикулярна цій стороні. Крім того, вектори Т2 і Т1 мають однакову довжину, оскільки натягнення уздовж резинки постійно. Отже, вектори Т1 і Т2 утворюють взаємно доповнюючі кути з відрізком АВ. Значить, ХYZ — більярдна траєкторія. Отже, ми довели, що вписаний трикутник якнайменшого периметра є періодичною траєкторією в ΔАВС є траєкторією.
З траєкторією XYZ можна зв'язати сімейство «паралельних періодичних траєкторій», зображене на малюнку.
Якщо трикутник АВС вважати плоскою пластинкою, то кожну траєкторію побудованого пучка можна уявляти собі як пружну замкнуту нитку, обвиваючу цю пластинку і поперемінно перехідну з однієї неї сторони на іншу 6 разів.
Але якщо ΔАВС — тупокутний, то ця конструкція періодичних траєкторій не спрацьовує — пружна нитка зіскочить з пластинки через вершину тупого кута. Отже знайти періодичні більярдні траєкторії в тупокутних трикутниках досить важко.
|
|
|
Дві конструкції для тупокутних трикутників:
Якщо намотати нитку на пластинку способом, зображеним на малюнку а), то зіскакування не відбудеться. Уважний розгляд цього малюнка підказує ідею, як будувати складніші періодичні траєкторії для спеціальних класів тупокутних трикутників.
Стійкі траєкторії
Тільки що побудовані періодичні траєкторії мають один істотний недолік — при скільки завгодно малій зміні кутів трикутника вони руйнуються (в тому сенсі, що поблизу початкової траєкторії немає періодичних траєкторій в деформованому трикутнику). Зараз ми побудуємо періодичну траєкторію в тупокутному трикутнику, вільну від цього дефекту.
Хай гострі кути α і β тупокутного трикутника АВС зв'язані нерівностями
(π-β)/2<kα <π/2≤(k+1)α
(π- α)/2<Lβ <π/2≤( L +1)β, де k і L – деякі натуральні числа. Зробимо k-1 дзеркальних відбиттів трикутника АВС навколо вершини А проти годинникової стрілки і L-1 відбиттів навколо вершини С за годинниковою стрілкою. Крайні промені AN s CN утворюють з основою АС гострі кути kα і Lβ. В гострокутному трикутнику АNC існує три ланкова періодична траєкторія, що сполучає основи його висот. Тоді при накладанні «гармошкою» на трикутник АВС коридору, складеного з ΔАВС і k +L-2 віддзеркалень трикутників, наша траєкторія перейде в 2 (k +L)-1-ланкову періодичну траєкторію в ΔАВС. Ця траєкторія – стійка.
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 170; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!