Проблема побудови траєкторій більярдів в багатокутниках
Особливий клас утворюють більярди в многокутних і багатогранних областях. Ці області характеризуються тим, що у кожної дільниці межі ðQ – сторони многокутника або грані багатогранника – вектор нормалі ň один і той же для всіх точок цієї дільниці. Внаслідок цього паралельний пучок білліардних траєкторій, відбившись відсторони (грані) остається паралельним. Для многокутних більярдів мається один елементарний, але водночас потужний геометричний прийом, так званий «прийом барона Мюнхаузена», що значно спрощує дослідження. («Прийом барона Мюнхаузена» - це метод випрямлення більярдних траєкторій, що наводився раніше. А саме, береться більярдна куля О (як у барона Мюнхаузена – гарматне ядро) і, озброївшись системою координат, спрямував вісь Оу в напрямку руху, а вісь Ох – вправо, перпендикулярно осі Оу). Метод випрямлення більярдних траєкторій в многокутнику належить німецькому математику Г.А. Шварцу (1843-1921). Але є перешкода, із-за якої картина поведінки в многокутнику виявляється досі непростою. Це – вершини многокутника (а у багатогранників - ребро).
Не менш цікаві і складні питання, пов’язані з періодичними і всюди щільними траєкторіями в многокутниках. Як приклад: вже в деяких трикутних областях мінімальна кількість ланок періодичних траєкторій може бути як завгодно велике. В випуклих областях діє теорема Биркгофа. В випуклій області Q з гладкою межою існує періодична траєкторія з будь-якою кількістю ланок n≥2 (достатньо вписати в Q ламану максимальної довжини з заданої кількістю ланок).
|
|
|
|
|
Три ланкова більярдна траєкторія
Вписаний трикутник АВС найбільшого периметру. Проведемо дотичну D'D'' в точці С і доведемо, що ‹АС D'' = ‹ВС D'. Тоді ‹АСС'>‹ВСС'. Для точки В', симетричної В відносно прямої СС', ламана АС'В' містить ламану АСВ' і тому довше, ніж вона.
Тобто периметр Δ АС'В більш, ніж периметр Δ АСВ, що протирічить вибору точок А, В, С.
Труднощі виникають і при знаходженні всюди щільних траєкторій в многокутниках. Роздивимось особливості траєкторій в різних видих многокутників.
Питання побудови траєкторії в кутах
Більярд в плоскому куті. Застостосовуємо прийом барона Мюнхгаузена до більярда в куті АВС на площині, величину якого позначимо α. Як поводиться більярдна частка, відбиваючись від сторін цього кута? Чи може виявитися так, що вона «заплутається» усередині кута, після нескінченного числа віддзеркалень? Виявляється, не може, і метод випрямляння дає негайний доказ тому. На малюнку, що наведено нижче, показано що найбільше число Nα віддзеркалень частки від сторін кута а може дорівнювати або π/α, якщо це число ціле, або [π/α] + 1. Обидві отримані відповіді можна записати однією формулою: Nα = — [—π/α].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Більярд в двогранному куті. Також просто виходить відповідь на питання про число віддзеркалень променя світла в дзеркалі, що має форму двогранного кута в просторі (мал. а). Величину його плоского кута позначимо α. Зробивши декілька віддзеркалень відносно граней цього кута, отримаємо «книжку», «листи» якої перетинає випрямлена траєкторія (мал. б). Зрозуміло, що число цих «листів» обчислюється по тій же формулі Nα = — [—π/α], оскільки проекція більярдної траєкторії γ на площину δ, перпендикулярну «корінцю» книжки (тобто загальному ребру всіх «листів»), дає знову більярдну траєкторію в плоскому куті величиною α.
Більярд в багатогранному кутку. Питання, поставлене в вищє, можна поставити для довільного багатогранного кута в просторі. Вже в тригранному кутку відповідь на нього стає досить складною. Вперше у всій повноті —"для довільного числа граней кута і в просторі довільної розмірності — цю задачу вирішив в 1978 р. Я.Р. Синай. Він довів, що існує рівномірна оцінка числа ударів частки з гранями кута, тобто існує таке число N = N(Q), залежне тільки від «геометрії» кута Q (від кутів між всілякими гранями різних розмірностей), що частка зможе віддзеркалитись в куті не більш N раз від його граней незалежно від початкового руху, після чого рухатиметься рівномірно і прямолінійно. Через десять років було знайдено інше рішення.
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 152; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!