Анализ спектра отклика НЭ на бигармоническое воздействие.

Бигармоническое воздействие - это входной сигнал, представляющий собой сумму двух гармонических колебаний с разными частотами:

u ( t ) = U ₀ + U_т1 cosω₁t + U_т2cosω₂ t

При анализе ограничимся третьей степенью аппроксимирующего полинома:

i (и) = а₀ + а₁(и- U ₀ ) +а₂(и- U ₀ )² + а₃(и- U ₀ )³.

 

Подставим в заданный полином выражение входного сигнала:

i ( t ) = а₀ + а₁( U _т1cos ω₁ t + U_т2cosω₂ t )+ а₂( U _т1cos ω₁ t + U_т2cosω₂ t)²+ а₃( U _т1cos ω₁ t + U_т2cosω₂ t )³= а₀ + а₁U _т1cos ω₁ t+ а₁U_т2cosω₂ t+ а₂ U _т1 ²cos²ω ₁t +

+ 2а₂ U _т1 U_т2cos ω₁ tcosω₂ t +а₂ U _т2 ²cos²ω₂t + а₃ U _т1 ³cos³ω ₁t +

+3а₃ U _т1 ² U_т2 cos²ω ₁t cos ω₂ t +3а₃ U _т1 U _т2 ²cos₁cos²ω₂ t + а₃ U _т2 ³cos³ω₂ t .

 

Применяя тригонометрические формулы кратных аргументов:

cos²α = 1/2 + 1/2cos2α,cos³α = 3/4cos α + 1/4cos3α

и произведения косинусов:

cosα cosβ = 1/2cos(α - β) + 1/2cos(α + β)

избавимся от степеней и произведений тригонометрических функций:

 

i ( t ) = а₀ + а₁U _т1cos ω₁ t+ а₁U_т2cosω₂ t +1/2а₂ U _т1 ² + 1/2а₂ U _т1 ² cos2ω₁ t + а₂ U _т1 U_т2cos(ω₁ -ω₂) t + а₂ U _т1 U_т2cos(ω₁ + ω₂) t + 1/2а₂ U _т2 ² +1/2а₂ U _т2 ²cos2ω₂ t +

+ 3/4а₃ U _т1 ³cos ω₁ t +1/4а₃ U _т1 ³ cos3ω₁ t + 3/2 а₃ U _т1 ² U_т2 cos ω₂ t +

+3/4а₃ U _т1 ² U_т2 cos(2ω₁ - ω₂) t + 3/4а₃ U _т1 ² U_т2 cos(2ω₁+ω₂) t +3/2 а₃ U _т1 U _т2 ²cos ω₁ t ++3/4а₃ U _т1 U _т2 ²cos(ω₁ -2ω₂) t + 3/4а₃ U _т1 ² U_т2 cos(2ω₁+ω₂) t +3/2 а₃ U _т1 U _т2 ²cos ω₁ t +

+ 3/4 U _т1 U _т2 ²cos(ω₁ +2ω₂) t + 3/4 а₃ U _т2 ³ cosω₂ t +1/4а₃ U _т2 ³ cos3ω₂ t .

 

Сгруппируем слагаемые с одинаковым аргументом косинуса:

i ( t ) = (а₀ +1/2а₂ U _т1 ² + 1/2а₂ U _т2 ² ) + (а₁U _т1+ 3/4U _т1 ³+3/2U _т1 U _т2 ²)cosω₁ t+ +(а₁U _т2+3/2 а₃ U _т1 ² U _т2 + 3/4а₃ U _т2 ³ ) cosω₂ t + 1/2а₂ U _т1 ² cos2ω₁ t +

+1/2а₂ U _т2 ²cos2ω₂ t + 1/4а₃ U _т1 ³ cos3ω₁ t + 1/4а₃ U _т2 ³ cos3ω₂ t +

+а₂ U _т1 U_т2cos(ω₁ -ω₂) t + а₂ U _т1 U_т2cos(ω₁ + ω₂) t + 3/4а₃ U _т1 U _т2 ²cos(ω₁ -2ω₂) t +

+ 3/4 а₃ U _т1 U _т2 ²cos(ω₁ +2ω₂) t +3 /4а₃ U _т1 ² U_т2 cos(2ω₁ - ω₂) t+

3/4а₃ U _т1 ² U_т2 cos(2ω₁+ω₂) t .

Заменим коэффициенты обозначением тока:

I ₀ = а₀ +1/2а₂ U _т1 ² + 1/2а₂ U _т2 ² - постоянная составляющая;

I _т1 = а₁U _т1+ 3/4U _т1 ³+3/2U _т1 U _т2 ² - амплитуда первой гармоники первой частоты;

I _{т 2} = а₁U _т2+3/2 а₃ U _т1 ² U _т2 + 3/4а₃ U _т2 ³- амплитуда первой гармоники второй частоты;

I _{т 21} =1/2а₂ U _т1 ² _- амплитуда второй гармоники первой частоты;

I _{т 22} =1/2а₂ U _т2 ² - амплитуда второй гармоники второй частоты;

I _т31 =1/4а₃ U _т1 ³ - амплитуда третьей гармоники первой частоты;

I _{т3 2} = 1/4а₃ U _т2 ³ - амплитуда третьей гармоники второй частоты;

I _{т 1-2} =а₂ U _т1 U_т2 – амплитуда составляющей разностной частоты (ω₁-ω₂);

I _{т1+ 2} =а₂ U _т1 U_т2 –амплитуда составляющей суммарной частоты(ω₁ +ω₂);

I _{т1- 22} =3/4 а₃ U _т1 U _т2 ² - амплитуда составляющей разностной частоты (ω₁ -2ω₂);

I _{т1+ 22} =3/4 а₃ U _т1 U _т2 ² - амплитуда составляющей суммарной частоты (ω₁ +2ω₂);

I _{т 21-2} =3/4а₃ U _т1 ² U_т2-амплитуда составляющей разностной частоты (2ω₁ - ω₂);

I _{т 21+2} =3/4а₃ U _т1 ² U_т2-амплитуда составляющей суммарной частоты (2ω₁ + ω₂).

 

Отклик представим в виде:

i ( t ) =I ₀ + I _т1cosω t+ I _{т 2} cosω₂ t+I _{т 21} cos2ω₁ t + I _{т 22}cos2ω₂ t + I _т31 cos3ω₁ t +

I _{т3 2} cos3ω₂ t + I _{т 1-2}cos(ω₁ -ω₂) t + I _{т1+ 2}cos(ω₁ + ω₂) t + I _{т1- 22}cos(ω₁ -2ω₂) t + I _{т1+ 22}cos(ω₁ +2ω₂) t + I _{т 21-2} cos(2ω₁ - ω₂) t + I _{т 21+2} (2ω₁+ω₂).

 

Представим воздействие на отклик графически, предположив, что ω_{1 >}ω_2.

 

 

 

Рис.9. Спектральные диаграммы бигармонического воздействия и отклика на него

 

Кроме постоянной составляющей и гармоник в составе тока появились комбинационные частоты - всевозможные суммарные и разностные частоты, не кратные частотам воз­действия. Составляющие с такими частотами возникают только при одновременном воз­действии на НЭ не менее двух гармонических колебаний.

Полигармоническое воздействие.

Полигармоническое воздействие - это входной сигнал, представляющий собой сумму трех или более гармонических колебаний с различными частотами:

u(t) = U₀+  cos ω ₁ t,

 

где М- число гармонических колебаний воздействия.

Обобщим полученные ранее результаты. При воздействии на НЭ с ВАХ, аппроксимиро­ванной полиномом N -ой степени, напряжения в виде суммы Моногармонических сигналов ток будет содержать составляющие с частотами:

\ к₁ω ₁± к₂ω₂ ± ... ± к_мω_м\,

где к₁,к₂,...,к_м- целые положительные числа из диапазона 0... N , такие что N;

 

сумма коэффициентов при частотах воздействия называется порядком колебания:

R =

При этом слагаемые степенного полинома четной степени привносят в спектр тока по­стоянную составляющую, гармоники и комбинационные частоты четных порядков; не­четной степени - нечетных порядков.

Такие функциональные преобразования бигармонических и полигармонических воздей­ствий НЭ используются при модуляции, детектировании и преобразовании частоты.

Тема 4 . Умножение частоты.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 1012; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!