Занятие 12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
, 
, 
, 
.
Собственные значения оператора 
, 
.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению 
:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
— собственному значению 
отвечают два линейно независимых собственных вектора 
и 
.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению 
:
, , 
,
, 
— собственному значению 
отвечает собственный вектор 
.
Проверим. 
, 
, 
. Верно.
Ответ: собственные значения оператора: 
, ; соответствующие собственные векторы: , 
, .
Пример 2. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственном базисе. Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей .
Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения
, и соответствующие собственные векторы оператора —
, , .
Собственные векторы оператора образуют базис в R3. Далее.
Первый способ
Поскольку в базисе 
, 
, 
и 
.
Второй способ
Запишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису 
: 
. Тогда 
.
Решения, полученные обоими способами совпали.
Ответ: 
, , , 
.
Задача 12.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Задача 12.2. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
|
|
|
Задача 12.3. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Задача 12.4. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Задача 12.5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Задача 12.6. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей 
.
Занятие 13. Кривые второго порядка
Кривые 2-го порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Задача 13.1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке С:
1) C = O(0, 0), R = 3; 2) C(2, -3), 
.
Задача 13.2*. Составить уравнение окружности C(2, 3), проходящей через начало координат.
Задача 13.3*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси ординат.
Задача 13.4*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси абсцисс.
Задача 13.5*. Составить уравнение окружности радиуса R = 2, касающейся осей координат.
Задача 13.6. Найти центр и радиус окружности: 1) x2 + y2 – 2x + 4y – 20 =0;
2) x2 + y2 – x =0; 3) x2 + y2 + y =0; 4) x2 + y2 + x =0; 5) x2 + y2 – 5x =0.
Задача 13.7. Изобразить линию, заданную уравнением: 1) 
;
2) 
; 3) 
; 4) 
.
|
|
|
Задача 13.8. Найти полуоси эллипса: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
Задача 13.9. Найти на эллипсе 
точку с абсциссой – 3.
Задача 13.10. Найти на эллипсе 
точку с ординатой – 1.
Задача 13.11. Записать каноническое уравнение эллипса:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
Задача 13.12. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
Задача 13.13*. При каких значениях m прямая y = - x + m пересекает эллипс 
, касается его, не имеет с эллипсом общих точек.
Задача 13.14*. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(3, 0), а оси ординат — в точке B(0, -4). Оси эллипса параллельны координатным осям. Записать уравнение эллипса.
Задача 13.15. Найти полуоси гиперболы: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
. Записать канонические уравнения сопряженных гипербол.
Задача 13.16. Найти на гиперболе 
точку с абсциссой –3.
Задача 13.17. Найти на гиперболе 
точку с ординатой –1.
Задача 13.18. Записать каноническое уравнение гиперболы:
1) 
; 2) 
;
3) 
, 4) 
.
Задача 13.19. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Задача 13.20*. Найти точки пересечения прямой 2x – y –10 = 0 и гиперболы 
.
Задача 13.21*. При каких значениях m прямая 
пересекает гиперболу 
, касается ее, не имеет с гиперболой общих точек.
Задача 13.22. Найти параметр и изобразить параболу:
1) y2 = 6x; 2) x2 = 5y; 3) y2 = -x; 4) y2 = 6x.
Задача 13.23. Найти на параболе y2 = 6x точку с абсциссой 3.
|
|
|
Задача 13.24. Найти на параболе y2 = – 2x точку с ординатой – 1.
Задача 13.25. Записать каноническое уравнение параболы:
1) 
; 2) 
;
3) 
, 4) 
.
Задача 13.26. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!