Занятие 9. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений

Пример 1. Исследуем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений

Исследовать неоднородную систему — ответить на вопрос является ли система совместной, и если является, то найти ее общее решение.

Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса):

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен двум:

RgA_p = RgA= r = 2, система совместна. Число неизвестных n =4, r < n — приведенная однородная система нетривиально совместна.

Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают.

Продолжим преобразование расширенной матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):

Запишем эквивалентную систему уравнений:

Как и в примере 1, переменные — базисные переменные, а — свободные.

Перенесем свободные переменные вправо:

Получили выражение базисных переменных через свободные переменные. Такое выражение — общее решение неоднородной системы, записанное «на языке систем».

Найдем частное решение неоднородной системы. Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:

и тогда вектор — частное решение неоднородной системы.

Приведенная однородная система — система из примера 1.

Воспользуемся решением предыдущего примера:

, — фундаментальная система приведенной однородной системы, — общее решение приведенной однородной системы.

Тогда

Проверим:

Верно.

Ответ: Система совместна, ее общее решение

Задача 9.1. Исследовать совместность и найти общие решения систем:

1) 2) 3) 4)

4) 5)

6) 6*)

Занятие 10. Контрольная работа по теме «Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений»

Занятие 11. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при изменении базиса

Пример 1.

Пусть A и B — операторы, действующие в R³:

, и .

Найдем .

В качестве дополнительного задания докажем линейность операторов, найдем их матрицы.

Решение

Сначала выполним дополнительное задание.

Докажем линейность оператора A:

Очевидно, что оба равенства справедливы для произвольных векторов и и любого числа .

Докажем линейность оператора B:

Очевидно, что оба равенства справедливы для произвольных векторов и и любого числа .

Запишем матрицу оператора A: ,

;

запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицу оператора A:

Запишем матрицу оператора B: ,

;

запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицу оператора B:

Перейдем к решению самой задачи: найдем .

Первый способ решения задачи

Сначала найдем : , ;

Затем найдем : , теперь найдем :

и, наконец, найдем :

Получили:

Второй способ решения задачи

Сначала найдем матрицу оператора :

, ,

и тогда

Сравним с результатом, полученным первым способом:

— полное совпадение.

Пример 2. Вектор задан своими координатами в базисе . Найдем координаты вектора в базисе :

Решение. Используем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису — ее столбцы — координаты векторов в базисе :

Найдем обратную матрицу методом Гаусса-Жордана

и тогда .

Проверим:

Получили заданные в условии координаты вектора в исходном базисе.

Ответ:

Пример 3. Линейный оператор A, действующий в пространстве R3, задан в в базисе матрицей . Найдем матрицу оператора A, в базисе :

Решение. Используем формулу преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису и вычислим обратную к ней (см. предыдущий пример): ,