Занятие 3. Плоскость и прямая в пространстве
Задача 1(Типовой расчет!). Записать уравнение плоскости, проходящей через точку A(2, 5, -3) перпендикулярно вектору 
, B(7, 8, -1), C(9, 7, 4).
Решение. 
— нормальный вектор плоскости проходящей через точку A(2, 5, -3). Уравнение плоскости: 
.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим искомое уравнение
.
Проверим. Точка A(2, 5, -3) принадлежит плоскости: 
. Нормальный вектор плоскости 
совпадает с вектором 
. Задача решена верно.
Ответ. 
.
Упражнение 1. Изобразите сами плоскости, заданные уравнением «в отрезках» для разных сочетаний знаков коэффициентов a, b и c.
Упражнение 2. Рассмотрите самостоятельно вид уравнения плоскости в отрезках для неполных уравнений 
, 
, 
, 
, 
и 
.
Задача 2. Изобразить плоскость, заданную уравнением 
.
Задача 3(Типовой расчет!). Найти угол между плоскостями
x + 2y – 2z – 7=0 и x + y – 35 = 0.
Решение. 
, 
, 
, 
.
Задача 4. Найти расстояние от точки 
до плоскости x + y – 35 = 0.
Решение. Запишем нормальное уравнениеплоскости x + y – 35 = 0:
, 
, нормальное уравнение плоскости 
. Тогда расстояние от точки 
до плоскости 
—
.
Ответ. Расстояние от точки до плоскости равно 
.
Задача 5. Записать общие уравнения оси 0x.
Решение. Ось 0x — линия пересечения плоскостей x0y и x0z. Уравнение плоскости x0y — z = 0, уравнение плоскости x0z — y = 0. Тогда общие уравнения оси 0x — 
Задача 6. Записать уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно оси 0x.
Решение. Направляющий вектор прямой — это вектор 
. Тогда искомые уравнения прямой — 
. Деление на нуль следует понимать так:
|
|
|
На нуль можно делить только числа, равные нулю, т.е. 
Таким образом получены не только канонические, но и общие уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно оси 0x.
Задача 7 (Типовой расчет!). Записать канонические уравнения прямой 
Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей: 
и 
, т.е. направляющий вектор прямой можно вычислить как векторное произведение нормальных векторов: 
. Координаты точки на прямой можно найти как одно из множества решений системы
Положим 
. Тогда 
, т.е. точка (-3,0,0) лежит на искомой прямой. Теперь можно записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку (-3,0,0) с направляющим вектором 
:
или, что то же самое, 
.
Ответ. Канонические уравнения прямой 
.
Задача 8(Типовой расчет!). Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрической форме
и найдем точку пересечения прямой и плоскости как решение системы 
Имеем: 
Проверим:
, 
. Верно.
Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (10, 4, -3).
Задача 9(Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке 
относительно плоскости 
.
|
|
|
Решение.
Точка, симметричная данной относительно плоскости, лежит на перпендикуляре к плоскости и удалена от плоскости на такое же расстояние, что и заданная точка.
Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости . Направляющий вектор прямой — нормальный вектор плоскости 
.
Параметрические уравнения прямой: 
Найдем точку M0 пересечения этой прямой и плоскости: 
Точка 
— середина отрезка 
, где 
— искомая симметричная точка. Тогда 
и 
.
Ответ. Симметричная точка — 
.
Задача 10(Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке относительно прямой 
Решение.
Точка, симметричная данной точке относительно прямой, лежит на плоскости, перпендикулярной прямой и удалена от прямой на такое же расстояние, что и заданная точка.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой 
Нормальный вектор плоскости — направляющий вектор прямой 
. Уравнение плоскости: 
, 
.
Найдем точку M0 пересечения этой прямой и плоскости: 
Точка 
— середина отрезка , где 
— искомая симметричная точка. Тогда 
и 
.
Ответ. Симметричная точка — 
.
Задача. Найти расстояние между ребрами AC и S B тетраэдра ABCS:
|
|
|
A(1,0,0), B(1,3,0), C(2,7,0), S(1,1,1).
Решение. Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины A и C — 
. Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины S и B — 
. Тогда расстояние d между ребрами AC и S B вычисляется по формуле 
; 
, 
, 
, 
.
Задача 3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 2;1) с нормальным вектором BC, где B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1).
Задача 3.2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 2;1) параллельно плоскости: 1) x0y; 2) x0z; 3) y0z; 4) x + y + 2z =1; 4) y – z = 1.
Задача 3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости: 1) 3x –2y – z = 2; 2) x – 4 = 0; 3) y + 3z = 1; 4) z – x – 5 = 0.
Задача 3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С(–1; 2; 1) перпендикулярно вектору CD, D(2; 1; 3).
Задача 3.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1;-3).
Задача 3.6. Доказать перпендикулярность плоскостей
2x + y + 3z –5 =0 и 3y – z +2 = 0.
Задача 3.7. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -1; 0) и через: 1) ось 0x; 2) ось 0y; 3) ось 0z.
Задача 3.8*. При каких значениях l и m плоскости 2x + ly + 3z –5 =0 и mx – 6y – 6z +2 = 0 параллельны?
Задача 3.9*. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(0; 1; 3) параллельно плоскостям 2x + 7y + z –5 =0 и 6y – 6z +2 = 0.
|
|
|
Задача 3.10. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости 2x + y + 3z –5 =0 и плоскости: x0y; 2) x0z; 3) y0z; 4) 2x - y –5 =0.
Задача 3.11. Найти точки пересечения прямой 
с прямой:
1) 0x; 2) 0y; 3) 0z; 4) 
.
Задача 3.12. Проверить, принадлежат ли прямой 
точки А(1; 2; –1), B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1) и D(2; 1; 3).
Задача 3.13. Записать канонические и параметрические уравнения прямой 
Задача 3.14. Записать уравнения прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой 
Задача 3.15. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости
2x –11y + z – 5 =0.
Задача 3.16. Доказать что прямая 
принадлежит плоскости
4x –3y + 7z – 4 =0.
Задача 3.18. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
B(0; 1; 5) на плоскость 2x + 4y -3 z – 5 =0.
Задача 3.19*. На плоскости 2x + 3y - 4z – 15 =0 найти точку, разность расстояний которой до точек B(5; 2; -7) и С(7; - 25; 10) наименьшая.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 138; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!